Sách giải là trang web cung cấp miễn phí các loại sách học tập, sách tham khảo, sách giải bài tập, sách hướng dẫn, sách học tốt, sách điện tử, ebook, giải trí, truyện, thơ, văn, hình ảnh, môn học, ngữ văn, toán học, vật lí, sinh học, hoá học, địa lý, lịch sử, công dân, ngoại ngữ, anh văn, tin học, âm nhạc, công nghệ, mĩ thuật, thể dục thể thao, đề thi đáp án, trắc nghiệm, y khoa và thư viện đề tài, đồ án tốt nghiệp, ...
 Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao: Mặt cầu, khối cầu. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Bài 1. Trong không gian cho ba đoạn thẳng $AB$, $BC$, $CD$ sao cho $AB \bot BC$, $BC \bot CD$, $CD \bot AB.$ Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D.$ Tính bán kính mặt cầu đó nếu $AB = a$, $BC = b$, $CD = c.$ Lời giải: Vì $AB \bot BC$ và $AB \bot CD$ nên $AB \bot BD.$ Tương tự ta có $DC \bot AC.$ Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông ứng với cạnh huyền: $BO = CO = \frac{1}{2}AD.$ Suy ra $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên mặt cầu tâm $O$, bán kính: $R = \frac{1}{2}AD$ $ = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$ Tâm mặt cầu $O$ là trung điểm $AD.$ Bài 2.
Lời giải:
Bài 3. Cho điểm $M$ nằm trong mặt cầu $(S).$ Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Lời giải: Cả a và b đều đúng. Bài 4. Cho đường thẳng $d$ và điểm $A$ không nằm trên $d.$ Xét các mặt cầu đi qua $A$ và có tâm nằm trên $d.$ Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn luôn đi qua một đường tròn cố định. Lời giải: Gọi $S$ là mặt cầu đi qua điểm $A$ có tâm $O$ nằm trên $d$ (Hình vẽ bên). Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d.$ Khi đó $(P)$ cắt mặt cầu $S$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$, có tâm $I$ là giao của mặt phẳng $(P)$ với $d$, bán kính $r = IA$, suy ra $(C)$ cố định. Vậy $S$ luôn đi qua đường tròn cố định $(C).$ Bài 5. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Lời giải:
Ví dụ: Cho tứ diện $ABCD$ nội tiếp mặt cầu $S$ (Hình vẽ bên). Lấy điểm $E$ nằm khác phía với $A$ đối với mặt phẳng $(BCD)$ sao cho $E$ không nằm trên $(S).$ Xét hình đa diện $ABCDE$ có $6$ mặt $ABC$, $ABD$, $ADC$, $EBC$, $ECD$, $EDB.$ Các mặt đó đều nội tiếp đường tròn nhưng hình đa diện $ABCDE$ không nội tiếp hình cầu. Vì nếu có mặt cầu đi qua các đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ thì nó phải đi qua $A$, $B$, $C$, $D$ nên mặt cầu đó chính là $S$, nhưng $E$ lại không nằm trên $S.$ Bài 6.
Lời giải: a) Giả sử $O$ là tâm mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $I$, $J$, $K$ (Hình bên). Khi đó $OI \bot AB$, $OJ \bot BC$, $OK \bot CA$, $OI = OJ = OK$ $(1).$ Gọi $O’$ là hình chiếu của $O$ lên mp $(ABC)$ thì $(1)$ $ \Leftrightarrow O’I \bot AB$, $O’J \bot BC$, $O’K \bot AC$, $O’I = O’J = O’K$ hay $O’$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Suy ra tập hợp các điểm $O$ là trục của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ b) Giả sử có mặt cầu tiếp xúc với $6$ cạnh của tứ diện $ABCD$ tại các điểm ${M_1}$, ${M_2}$, ${M_3}$, ${M_4}$, ${M_5}$, ${M_6}$ như hình vẽ. Khi đó ta có: $A{M_1} = A{M_2} = A{M_3}$, $B{M_1} = B{M_6} = B{M_4}$, $C{M_5} = C{M_2} = C{M_4}$, $D{M_5} = D{M_3} = D{M_4}.$ Suy ra $A{M_1} + B{M_1} + C{M_5} + D{M_5}$ $ = A{M_2} + C{M_2} + B{M_6} + D{M_6}$ $ = A{M_3} + D{M_3} + B{M_4} + C{M_4}$ $ \Leftrightarrow AB + CD$ $ = AC + BD$ $ = AD + BC.$ Đảo lại nếu tứ diện có tổng các cạnh đối bằng nhau thì tồn tại mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện. Bài 7.
Lời giải:
Gọi $I$ là trung điểm $SA$ thì tứ giác $AHOI$ nội tiếp nên: $SO.SH = SI.SA$ hay $\;SO = \frac{{S{A^2}}}{{2SH}} = \frac{{S{A^2}}}{{2h}}.$ Ta có: $S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}$ $ = {h^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}$ $ = \frac{{{a^2} + 3{h^2}}}{3}.$ Suy ra $R = SO = \frac{{{a^2} + 3{h^2}}}{{6h}}.$ Vậy thể tích khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{{a^2} + 3{h^2}}}{{6h}}} \right)^2}.$ b) Gọi $SH$ là đường cao của hình chóp đều $SABCD$ thì $H$ là tâm hình vuông $ABCD$ và $SH$ đi qua tâm $H’$ của hình vuông $A’B’C’D’$ (Hình vẽ). Mọi điểm nằm trên $SH$ đều cách đều bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và cũng cách đều bốn điểm $A’$, $B’$, $C’$, $D’.$ Trên $SH$ xác định điểm $O$ sao cho $OA = OA’$ thì $O$ cách đều $8$ đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$, $A’$, $B’$, $C’$, $D’$ tức $8$ đỉnh đó nằm trên mặt cầu tâm $O$, bán kính $R = OA.$ Điểm $O$ là giao điểm của đường thẳng $SH$ và mặt phẳng trung trực của đoạn $AA’.$ Do $\Delta SAC$ vuông cân tại $S.$ Gọi $I$ là trung điểm $AA’$ thì $\Delta SIO$ cũng vuông cân tại $I$ nên $OI = SI = \frac{{3a}}{4}.$ Suy ra: $R = OA = \sqrt {O{I^2} + A{I^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} $ $ = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}.$ Thể tích khối cầu là: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt {10} }}{{24}}.$ Bài 8. Cho tứ diện $ABCD$, với $AB = CD = c$, $AC = BD = b$, $AD = BC = a.$
Lời giải:
Bài 9. Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ biết $SA = a$, $SB = b$, $SC = c$ và ba cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm $S$, $G$, $I$ thẳng hàng, trong đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC.$ Lời giải: Gọi $J$ là trung điểm của $AB.$ Vì tam giác $SAB$ vuông ở đỉnh $S$ nên $IS = JA = IB$ (Hình vẽ bên). Gọi $\Delta $ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$ tại $J$ thì mọi điểm của đường $\Delta $ đều cách đều ba điểm $S$, $A$, $B.$ Bởi vậy nếu gọi $I$ là giao điểm của $\Delta $ với mặt phẳng trung trực của đoạn $SC$ thì $I$ cách đều bốn điểm $S$, $A$, $B$, $C.$ Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ có tâm $I$, bán kính $R = IA.$ Ta có: ${R^2} = I{A^2} = I{J^2} + A{J^2}$ $ = {\left( {\frac{{SC}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2}$ $ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}.$ Diện tích mặt cầu bằng: $S = 4\pi {R^2}$ $ = \pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).$ Vì $SC // IJ$ nên $SI$ cắt $CJ$ tại điểm $G$ và do $SC = 2IJ$ nên $CG = 2GJ.$ Do $CJ$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Bài 10.
Lời giải:
Gọi $I$, $I’$ là tâm của $(C)$ và $(C’)$ thì $II’$ là trục của cả hai đường tròn. Gọi $O$ là trung điểm $II’$ thì $O$ cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ ấy có mặt cầu ngoại tiếp.
|
