01/08/2021 1,841
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;0;0,B0;−2;0 và C0;0;−4. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng:
Xem đáp án » 01/08/2021 1,684
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;2;3,B4;−7;−9, tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA2+MB2=165 là mặt cầu có tâm Ia;b;c và bán kính R. Giá trị biểu thức T=a2+b2+c2+R2 bằng:
Xem đáp án » 01/08/2021 1,657
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;−2;3. Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm I, bán kính IM?
Xem đáp án » 01/08/2021 1,146
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S:x2+y2+z2−6x−4y−2z=0. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S)?
Xem đáp án » 31/07/2021 1,001
Cho mặt cầu x−12+y−22+z+52=16 và điểm A1;2;−1. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn AM là lớn nhất.
Xem đáp án » 01/08/2021 835
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2+y2+z2+4x−2y+2z+m=0 là phương trình mặt cầu.
Xem đáp án » 01/08/2021 733
Cho hai điểm AxA;yA;zA,BxB;yB;zB, khi đó độ dài đoạn thẳng AB được tính theo công thức
Xem đáp án » 31/07/2021 585
Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm A1;0;0,B0;−2;0, C0;0;4 và gốc tọa độ O có bán kính bằng:
Xem đáp án » 01/08/2021 521
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A−2;−1;3 và B0;3;1. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
Xem đáp án » 31/07/2021 478
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I6;3;−4 tiếp xúc với Ox có bán kính R bằng:
Xem đáp án » 01/08/2021 397
Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để x2+y2+z2+21−2my−2m−2z+6m2+5=0 là phương trình của một mặt cầu?
Xem đáp án » 31/07/2021 349
Điểm M thỏa mãn OM→=i→−3j→+k→ có tọa độ:
Xem đáp án » 31/07/2021 336
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của mặt cầu:
Xem đáp án » 31/07/2021 277
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4mx+4y+2mz+m2+4m=0 có bán kính nhỏ nhất khi m bằng:
Xem đáp án » 01/08/2021 255
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho hai điểm E2;1;1,F0;3;−1. Mặt cầu (S) đường kính EF có phương trình là:
Xem đáp án » 01/08/2021 250
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 25
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
A. I(1; -2; -3); R = 25
B. I(-1; 2; 3); R = 5
C. I(-1; 2; 3); R = 25
D. I(1; -2; -3); R = 5
Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học 12. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về cách viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu, cùng tìm hiểu nhé!.
Định nghĩa mặt cầu là gì? Lý thuyết phương trình mặt cầu
Khái niệm mặt cầu là gì?
Mặt cầu được định nghĩa khi với điểm O cố định cùng với một số thực dương R. Khi đó thì tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R sẽ được gọi là mặt cầu tâm O và bán kính R. Ký hiệu: S(O;R)
Các dạng phương trình mặt cầu
Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu I(a, b, c) bán kính R. Khi đó phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có dạng là: \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\)
Hoặc: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2cz+d=0\) với \(a^{2}+b^{2}+c^{2}> d\)
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0
Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P):
- d > R: mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
- d = R: mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc tại H.
- d < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình chiếu của I trên (P) và bán kính \(r = \sqrt{R^{2} – d ^{2}}\).
Điểm H được gọi là tiếp điểm.
Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện.
Xem thêm >>>: Viết phương trình mặt phẳng trong không gian
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và đường thẳng \(\Delta\)
Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng \(\Delta\):
- d > R: Đường thẳng \(\Delta\) không cắt mặt cầu (S)
- d = R: Đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu (S)
- d < R: Đường thẳng \(\Delta\) cắt mặt cầu (S) theo dây cung \(AB = \sqrt{R^{2} – d^{2}}\)
Xem thêm >>> Viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I (x_{0}, y_{0}, z_{0})\) và bán kính R.
Thay tọa độ I và bán kính R vào phương trình, ta có:
(S): \((x – x_{0})^{2} + (y – y_{0})^{2} + (z – z_{0})^{2} = R^{2}\)
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; -5; -2) và bán kính R = 5
Cách giải
Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S):
\((x – 3)^{2} + (y – (-5))^{2} + (z – (-2))^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 25\)
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước
- Tìm trung điểm của AB. Vì AB là đường kính nên I là tâm trung điểm AB đồng thời là tâm của mặt cầu.
- Tính độ dài IA = R.
- Làm tiếp như bài toán dạng 1.
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3)
Cách giải
Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu (S) có tâm I và bán kính.
\(r = \frac{AB}{2} = IA = IB\)
Ta có: Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ \(I(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}) \Rightarrow I(3; -1; 5)\)
\(\Rightarrow \vec{IA} = (1; -2; 2)\)
\(\Rightarrow R = \left | \vec{IA} \right | = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}} = 3\)
Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S):
\((x – 3)^{2} + (y – (-1))^{2} + (z – 5)^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z – 5)^{2} = 9\)
Dạng 3: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.
- Gọi I (a, b, c) là tâm mặt cầu (S) thuộc mặt phẳng (P)
- Ta có hệ phương trình \([\left\{\begin{matrix} IA = IB & \\ IA = IC & \\ I \epsilon (P) & \end{matrix}\right.\)
- Giải hệ phương trình tìm được a, b, c sau đó thay vào 1 trong 2 phương trình trên để tìm bán kính mặt cầu.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A (2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.
Cách giải
Gọi phương trình tổng quát (S): \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a^{2} + b^{2} + c^{2} > d\) (1)
Mặt cầu (S) có tâm \(I (-a;-b;-c)\)
Từ đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 4 + 1 + 4a + 2c + d = 0 & \\ 1 + 2c + d = 0 & \\ 3 + 2a + 2b + 2c + d = 0 & \\ -a -b -c -2 = 0 & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a + 2c + d = -5 & \\ 2c + d = -1 & \\ 2a + 2b + 2c + d = -3 & \\ a + b +b c = -2 & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -1 & \\ b = 0 & \\ c = -1 & \\ d = 1 & \end{matrix}\right.\)
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0\)
Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. Cảm ơn các bạn đã đón đọc. Nếu có góp ý và thắc mắc hãy bình luận bên dưới để chúng mình giải đáp nhé <3
Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới:
(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm:
Please follow and like us: