 Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn. Với , là biểu thức chứa và là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau: Loại 1: Tìm GTNN của biểu thức dạng: với . Hướng giải: Với và mọi ta có . Do đó GTNN của là khi . Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức . Lời giải Với mọi ta có , và khi hay . Vậy GTNN của biểu thức là khi . Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: Bạn đang xem tài liệu "Giáo án Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Giá trị min-max và bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với mọi và mọi ta có: , và khi . Với mọi ta có: , và khi . (với cùng dấu) thì . (với là số tự nhiên). II. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn. Với , là biểu thức chứa và là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau: Loại 1: Tìm GTNN của biểu thức dạng: với . Hướng giải: Với và mọi ta có . Do đó GTNN của là khi . Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức . Lời giải Với mọi ta có , và khi hay . Vậy GTNN của biểu thức là khi . Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) b) Lời giải a) Vì nên . Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2019 khi . b) Vì . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi . Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức . Lời giải Với mọi ta có , và khi hay . Với mọi ta có , và khi hay . Do đó với mọi ta có: hay . Ta có khi xảy ra đồng thời và hay Vậy GTNN của biểu thức là khi . Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: và Lời giải + Ta có: Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất khi + Ta có: Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất khi . Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Phân tích: Với bài toán mà biểu thức chưa có dạng . Ta đặt thừa số chung để đưa về dạng Lời giải Ta có: + Vì nên . Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 29 khi . Loại 2: Tìm GTNN của biểu thức dạng: với . Hướng giải: Với và mọi ta có . Do đó GTLN của là khi . Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau a) . b) . Lời giải a) Vì nên . Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng khi . b) Vì . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị lớn nhất của bằng khi Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức . Lời giải Ta có: Với mọi ta có , và khi hay . Với mọi ta có , và khi hay . Do đó với mọi ta có: hay . Vậy GTLN của biểu thức là khi và . Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải + Ta có: Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị lớn nhất khi . Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải Ta có: + Vì nên . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng khi . Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải Ta có: Vì Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị lớn nhất khi . Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN của phân thức. Ở dạng này xét các bài toán: Tìm số nguyên ( hoặc số tự nhiên ) để phân thức có GTLN – GTNN. Loại 1: với là các số nguyên đã biết. + Nếu thì: có GTLN khi là số dương nhỏ nhất ứng với nguyên . có GTNN khi là số âm lớn nhất ứng với nguyên. + Nếu thì: có GTLN khi là số âm lớn nhất ứng với nguyên. có GTNN khi là số dương nhỏ nhất ứng với nguyên. Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên để có GTLN. Tìm GTLN đó. Lời giải Ta có tử là nên có GTLN khi và có GTNN ứng với . Xét . Do đó để và có GTNN ứng thì phải là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn . Từ đó ta suy ra và GTLN của là . Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên để có giá trị lớn nhất Lời giải Ta có: và không đổi. có giá trị lớn nhất khi là số nguyên dương nhỏ nhất . Ta có: . Do và là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra: . Khi đó đạt giá trị lớn nhất là Vậy . Ví dụ 3: Tìm số nguyên để có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Ta có: và không đổi. có giá trị nhỏ nhất khi là số nguyên âm lớn nhất . Ta có: . Do và là số nguyên âm lớn nhất suy ra:. Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất là Vậy . Ví dụ 4: Tìm để phân số có giá trị lớn nhất. Lời giải Ta có: và không đổi. có giá trị lớn nhất khi là số nguyên dương nhỏ nhất . Ta có: vì . Do đó nhỏ nhất bằng khi nên đạt giá trị lớn nhất là Vậy . Loại 2: với là các số nguyên đã biết. Tách . Việc tìm nguyên để có GTLN – GTNN trở thành bài toán tìm nguyên để có GTLN hoặc có GTNN (Bài toán loại 1). Chú ý ta có thể cách tách biểu thức theo cách sau: Ví dụ 1: Tìm số nguyên để có GTNN. Tìm GTNN đó. Lời giải Ta có: Do đó biểu thức đạt GTNN khi đạt GTLN. Mặt khác, do tử là nên đạt GTLN khi và có GTNN ứng với . Xét . Do đó để và có GTNN ứng với thì phải là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn . Từ đó ta suy ra và GTNN của là . Ví dụ 2: Tìm số nguyên để đạt GTLN. Tìm GTLN đó. Lời giải Ta có: . Do đó biểu thức đạt GTLN khi đạt GTLN. Mặt khác, do tử là nên đạt GTLN khi và có GTNN ứng với . Xét . Do đó để và có GTNN ứng với thì phải là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn . Từ đó ta suy ra và GTLN của là . Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên để có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Ta có: đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thứcđạt giá trị nhỏ nhất, khi đó lớn nhất. Do và không đổi. Phân số có giá trị lớn nhất khi là số nguyên dương nhỏ nhất . Ta có: . Dovàlà số nguyên dương nhỏ nhất suy ra: . Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất là Ngoài hai loại cơ bản trên thì khi thay bởi các lũy thừa bậc cao hơn của ta được các bài toán mở rộng. Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối. Với là biểu thức chứa và là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau: Loại 1: Tìm GTNN của biểu thức dạng: với . Hướng giải: Với và mọi ta có . Do đó GTNN của là khi . Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của . Lời giải Ta có: với mọi nên . Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 tại . Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức . Lời giải Với mọi ta có hay Vậy GTNN của biểu thức là khi hay . Loại 2: Tìm GTLN của biểu thức dạng: với . Hướng giải: Với và mọi ta có . Tài liệu đính kèm:
Chia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích!
HƯỚNG DẪN GIẢI CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA PHÂN SỐ Trong chương trình toán lớp 6 phần số học: Chương Phân số rất quan trọng và khó học. Đặc biệt kiến thức này còn có trong đề thi kiểm tra 1 tiết, đề thi học kì lớp 6 nên học sinh lớp 6 phải học thật chắc chắn. Dưới đây, hệ thống giáo dục trực tuyến Vinastudy xin giới thiệu một vài ví dụ về các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo ! BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $B=\frac{1}{x-3}$ có giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Cho phân số $P=\frac{1000}{100-x}$. Tìm số nguyên $x$ để P có giá trị lớn nhất. Bài 3: Cho phân số $A=\frac{3-x}{x-1}$. Tìm giá trị nguyên $x$ để A có giá trị nhỏ nhất. Bài 4: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $D=\frac{1}{7-x}$ có giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho phân số $A=\frac{2x+3}{2x+1}$. Tìm số nguyên $x$ để A có giá trị lớn nhất. Bài 6: Cho phân số $E=\frac{2x+1}{6x-3}$. Với $x\in Z$ , tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 7: Cho phân số $D=\frac{2x-1}{x-3}$. Với $x\in Z$ , tìm giá trị lớn nhất của D . Bài 8: Cho $A=\frac{x-13}{x+3}$. Tìm $x\in Z$ để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 9: Tìm số nguyên $x$ để phân số $B=\frac{2020-x}{2019-x}$ đạt giá trị lớn nhất. Bài 10: Với $x\in Z$,tìm giá trị lớn nhất của phân số $C=\frac{x}{2x-1}$. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $B=\frac{1}{x-3}$ có giá trị nhỏ nhất. Bài giải: $B=\frac{1}{x-3}$ +) Với $x-3\,>0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x>3$ thì $B=\frac{1}{x-3}>0$ +) Với $x-3\,<0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x<3$ thì $B=\frac{1}{x-3}<0$ Để B có giá trị nhỏ nhất thì $\left\{ \begin{align}& x-3<0 \\ & x-3\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ Mà: $x$ là số nguyên nên $x-3=-1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=-1+3=2$ Vậy B có giá trị nhỏ nhất là: $\frac{1}{2-3}=-1$ khi $x=2$ Bài 2: Cho phân số $P=\frac{1000}{100-x}$. Tìm số nguyên $x$ để P có giá trị lớn nhất. Bài giải: $P=\frac{1000}{100-x}$ +) Với $100-x\,>0$ thì $P=\frac{1000}{100-x}>0$ +) Với $100-x\,<0$ thì $P=\frac{1000}{100-x}<0$ Để $P=\frac{1000}{100-x}$ có giá trị lớn nhất thì $\left\{ \begin{align}& \frac{1000}{100-x}>0 \\ & 100-x\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 100-x>0 \\ & 100-x\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ Mà: $x$ là số nguyên nên $100-x=1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=100-1=99$ Vậy P có giá trị lớn nhất là $\frac{1000}{100-99}=1000$ khi $x=99$ Bài 3: Cho phân số $A=\frac{3-x}{x-1}$. Tìm giá trị nguyên $x$ để A có giá trị nhỏ nhất. Bài giải: $A=\frac{3-x}{x-1}=-\frac{x-3}{x-1}=-\left( \frac{x-1}{x-1}-\frac{2}{x-1} \right)=-1+\frac{2}{x-1}$ +) Với $x-1>0$ thì $\frac{2}{x-1}>0$ +) Với $x-1<0$ thì $\frac{2}{x-1}<0$ Để A có giá trị nhỏ nhất thì $\frac{2}{x-1}$ có giá trị nhỏ nhất. $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{2}{x-1}<0 \\ & x-1\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x-1<0 \\ & x-1\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ Mà: $x$ là số nguyên nên $x-1=-1\,\,\,\,\Rightarrow x=-1+1=0$ Vậy A có giá trị nhỏ nhất là: $-1+\frac{2}{0-1}=-3$ khi $x=0$ Bài 4: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $D=\frac{1}{7-x}$ có giá trị nhỏ nhất. Bài giải: $D=\frac{1}{7-x}$ +) Với $7-x>0$ thì $\frac{1}{7-x}>0$ +) Với $7-x<0$ thì $\frac{1}{7-x}<0$ Để $D=\frac{1}{7-x}$ có giá trị nhỏ nhất thì $\left\{ \begin{align}& \frac{1}{7-x}<0 \\ & 7-x\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 7-x<0 \\ & 7-x\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ Mà: $x$ là số nguyên nên $7-x=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow x=7-\left( -1 \right)=8$ Vậy D có giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{7-8}=-1$ khi $x=8$ Bài 5: Cho phân số $A=\frac{2x+3}{2x+1}$. Tìm số nguyên $x$ để A có giá trị lớn nhất. Bài giải: $A=\frac{2x+3}{2x+1}=\frac{2x+1+2}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}$ +) Với $2x+1>0$ thì $\frac{2}{2x+1}>0$ +) Với $2x+1<0$ thì $\frac{2}{2x+1}<0$ Để A có giá trị lớn nhất thì $\frac{2}{2x+1}$ có giá trị lớn nhất. $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{2}{2x+1}>0 \\ & 2x+1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 2x+1>0 \\ & 2x+1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ Mà: $x$ là số nguyên nên $2x+1=1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=0$ Vậy A có giá trị lớn nhất là $1+\frac{2}{2.0+1}=3$ khi $x=0$ Bài 6: Cho phân số $E=\frac{2x+1}{6x-3}$. Với $x\in Z$ ,tìm giá trị nhỏ nhất của A . Bài giải: $E=\frac{2x+1}{6x-3}$ $3E=3.\frac{2x+1}{6x-3}=\frac{6x+3}{6x-3}=\frac{6x-3+6}{6x-3}=1+\frac{6}{6x-3}$ +) Với $6x-3>0$ thì $\frac{6}{6x-3}>0$ +) Với $6x-3<0$ thì $\frac{6}{6x-3}<0$ Để E có giá trị nhỏ nhất thì 3E cũng có giá trị nhỏ nhất. $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{6}{6x-3}<0 \\ & 6x-3\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 6x-3<0 \\ & 6x-3\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ Mà $x$ là số nguyên nên $6x-3=-3\,\,\,\,\Rightarrow x=0$ Vậy E có giá trị nhỏ nhất là: $\frac{2.0+1}{6.0-3}=-\frac{1}{3}$ khi $x=0$ Bài 7: Cho phân số $D=\frac{2x-1}{x-3}$. Với $x\in Z$ tìm giá trị lớn nhất của D. Bài giải: $D=\frac{2x-1}{x-3}=\frac{2\left( x-3 \right)+5}{x-3}=2+\frac{5}{x-3}$ + Với $x-3>0\Rightarrow x>3$ thì $\frac{5}{x-3}>0$ + Với $x-3<0\Rightarrow x<3$ thì $\frac{5}{x-3}<0$ Để D có giá trị lớn nhất thì $\frac{5}{x-3}$ có giá trị lớn nhất $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{5}{x-3}>0 \\ & x-3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x-3>0 \\ & x-3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ Mà $x$là số nguyên nên $x-3=1\Rightarrow x=4$ Vậy D có giá trị lớn nhất là: $\frac{2.4-1}{4-3}=\frac{7}{1}=7$ khi $x=4$ Bài 8: Cho $A=\frac{x-13}{x+3}$. Tìm $x\in Z$ để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài giải: $A=\frac{x-13}{x+3}=\frac{x+3-16}{x+3}=1-\frac{16}{x+3}$ + Với $x+3>0\Rightarrow x>-3$ thì $\frac{16}{x+3}>0$ + Với $x+3<0\Rightarrow x<-3$thì $\frac{16}{x+3}<0$ Để A có giá trị nhỏ nhất thì $\frac{16}{x+3}$ có giá trị lớn nhất $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{16}{x+3}>0 \\ & x+3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x+3>0 \\ & x+3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ Mà $x$ là số nguyên nên $x+3=1\Rightarrow x=-2$ Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{-2-13}{-2+3}=-15$ khi $x=-2$ Bài 9: Tìm số nguyên $x$ để phân số $B=\frac{2020-x}{2019-x}$ đạt giá trị lớn nhất. Bài giải: $B=\frac{2020-x}{2019-x}=\frac{x-2020}{x-2019}=\frac{x-2019-1}{x-2019}=1-\frac{1}{x-2019}$ + Với $x-2019>0\Rightarrow x>2019$ thì $\frac{1}{x-2019}>0$ + Với $x-2019<0\Rightarrow x<2019$ thì $\frac{1}{x-2019}<0$ Để B có giá trị lớn nhất thì $\frac{1}{x-2019}$ có giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{x-2019}<0 \\ & x-2019\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x-2019<0 \\ & x-2019\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$ Mà x là số nguyên nên $x-2019=-1\Rightarrow x=2018$ Vậy giá trị lớn nhất của B là $\frac{2020-2018}{2019-2018}=2$ khi $x=2018$ Bài 10: Với $x\in Z$, tìm giá trị lớn nhất của phân số $C=\frac{x}{2x-1}$ . Bài giải: $C=\frac{x}{2x-1}$ $2C=\frac{2x}{2x-1}=\frac{2x-1+1}{2x-1}=1+\frac{1}{2x-1}$ + Với $2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{2x-1}>0$ + Với $2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{2x-1}<0$ Để C có giá trị lớn nhất thì 2C có giá trị lớn nhất $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{2x-1}>0 \\ & 2x-1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 2x-1>0 \\ & 2x-1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$ Mà x là số nguyên nên $2x-1=1\Rightarrow x=1$ Vậy giá trị lớn nhất của C là $C=\frac{1}{2.1-1}=1$ khi $x=1$ |
