Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình toán 9. Tài liệu gồm 76 trang tổng hợp lý thuyết, cách giải và bài ví dụ có đáp án giúp các bạn học sinh giải toán phương trình và hệ phương trình dễ dàng. Show Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là một chủ đề quan trọng và luôn xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán các năm. Các câu hỏi của dạng toán này thường không quá khó, thường ở mức 6 - 7 điểm. Tuy nhiên thỉnh thoảng trong một số đề thi vào 10 chẳng hạn như đề thi vào lớp 10 môn Toán của Sở Giáo dục và Đào tạo TP. HCM thì giải bài toán bằng cách lập phương hoặc phương trình khá quan trọng và thường ở mức 8 đến 9 điểm. Dù đây là dạng toán chỉ xoay quanh các chủ đề quen thuộc, liên quan mật thiết đến các bài toán thực tế như bài toán về Lãi suất ngân hàng, diện tích tam giác, các bài toán liên quan đến vật lý như vận tốc nhưng các bạn học sinh vẫn chưa thuần thục và có phần sợ khi gặp các bài toán này. Thấu hiểu những tâm lý đó, đội ngủ giáo viên của thuvientoan.net đã biên soạn tài liệu giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình nhằm giúp các bạn học sinh có một nguồn tài liệu để ôn thi vào lớp 10 hiệu quả. Nội dung tài liệu giải bài toán bằng cách lập phương trình toán 9LOẠI 1: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI DIỆN TÍCH, TAM GIÁC, TỨ GIÁCA. SƠ LƯỢC LÝ THUYẾT – CÁCH GIẢI I. Cách giải: Bước 1: Lập phương trình hoặc lập hệ phương trình tùy vào đề bài: - Chọn ẩn phù hợp cùng các điều kiện của ẩn - Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị). - Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Kiểm tra kết quả bằng cách so sánh với các điều kiện đặt ra từ đề bài II. Các công thức liên quan: Diện tích tam giác vuông= nữa tích hai cạnh góc vuông. Diện tích hình chữ nhật= dài nhân rộng. Diện tích hình vuông= cạnh nhân cạnh. B. CÁC VÍ DỤ MẪU C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: D. BÀI TẬP VỀ NHÀ: LOẠI 2: BÀI TOÁN NĂNG SUẤTA. SƠ LƯỢC LÝ THUYẾT – CÁCH GIẢI I. Cách giải:
Bước 1: Lập phương trình hoặc lập hệ phương trình tùy vào đề bài: - Chọn ẩn phù hợp cùng các điều kiện của ẩn - Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị). - Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Kiểm tra kết quả bằng cách so sánh với các điều kiện đặt ra từ đề bài II. Các công thức liên quan: B. CÁC VÍ DỤ MẪU C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Tài liệu THEO THUVIENTOAN.NET
Với Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 1. Phương pháp. - Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai. - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac + ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm + ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: + ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac + Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm + Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: + Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2. Ví dụ Giải các phương trình sau Giải a. Ta có: a = 1; b = 1; c = - 6 ⇒ ∆ = b2 – 4ac = 1 + 24 = 25 > 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: Dạng 2: Tìm 2 số khi biết tổng và tích của hai số đó 1. Phương pháp: Nếu hai số x1; x2 có x1 + x2 = S ; x1.x2 = P thì x1 và x2 có thể là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0 Tính ∆ = (-S)2 – 4P = S2 – 4P = ? + Nếu S2 – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2. + Nếu S2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm Hoặc tính Tính ∆ꞌ = (-Sꞌ)2 – P = (Sꞌ)2 – P = ? ( với S = 2Sꞌ) + Nếu (Sꞌ)2 – P < 0 thì không tồn tại x1 và x2. + Nếu (Sꞌ)2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm thu gọn 2. Ví dụ Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Ta có: u + v = 42 và u.v = 441 nên u và v có thể là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 – 42x + 441 = 0 (*) Ta có: ∆ꞌ = (- 21)2 - 441 = 0 Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai 1. Phương pháp. - Xác định điều kiện của phương trình nếu có - Quy đồng, biến đổi, đặt ẩn phụ...để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai. 2. Ví dụ Giải phương trình sau Giải a. Đặt t = |x| (t ≥ 0) ⇒ t2 = x2. Khi đó phương trình (1) trở thành: t2 – t – 6 =0 Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.1 .(-6) = 25 > 0 Do đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (thỏa mãn t ≥ 0) (không thỏa mãn t ≥ 0)Với t = 3 ⇔ |x| = 3 ⇔ x = 3 hoặc x = -3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 3 hoặc x = -3 b. ĐK: x ≠ -1; x ≠ 4 Phương trình (2) ⇒ 2x(x- 4) = x2 – x + 8 ⇔ x2 – 7x – 8 = 0 (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8 Dạng 4: Phương trình bậc hai chứa tham số 1.Phương pháp: cho phương trình ax2 + bx + c =0(a ≠ 0) a. Điều kiện để phương trình 1. Có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 3. Có nghiệm kép ⇔ Δ = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0 ; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0 ; S < 0 và P > 0 9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0 10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S > 0 b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực) B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt . B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm: B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: ⇒ x1 và x2 B4- Thay x1 và x2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số. c. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 - x2|= k (k ∈ R) - Bình phương trình hai vế: (x1 - x2)2 = k2 ⇔ ... ⇔ (x1 + x2)2-4x1x2 = k2 - Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận. d. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0) B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 (*) +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α Ta có . Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α Ta có (*). Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2 Ta có (x1 - α)(x2 - α) < 0 (*) .Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m 2. Ví dụ Cho phương trình x2 + 5x + 3m - 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số) a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x13 - x23 + 3x1x2 = 75 Giải a. Phương trình có 2 nghiệm khi: Vậy với thì phương trình có hai nghiệmb. Với thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Chia hai vế của (*) cho 25 - x1x2 ≠ 0 ta được: Kết hợp x1 + x2 = -5 suy ra x1 = -1; x2 = -4. Thay vào x1x2 = 3m - 1 suy ra Vậy là giá trị cần tìm.Câu 1: Cho phương trình x2 - (2m - 1)x + m2 - 1 = 0 (x là ẩn số) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Giải Δ = (2m - 1)2 - 4.(m2 - 1) = 5 - 4m Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < 5/4 Đáp án là C Câu 2: Tập nghiệm của phương trình x2 - 10x + 9 = 0 là Giải Phương trình x2 - 10x + 9 = 0 có a + b + c = 1 + (-10) + 9 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1,9} Đáp án B Câu 3: Tìm m để phương trình mx2 –2(m – 1)x + m - 3 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt A. m > -2 và m ≠ 0 B. m > -1 và m ≠ 0 C. m > 2 và m ≠ 1 D. m > 3 và m ≠ 0 Giải Điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là Vậy với m > -1 và m ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt Đáp án là B Câu 4: Tìm m để phương trình (m – 2)x2 –2(m + 1)x + m = 0 (1) có 1 nghiệm Giải TH1: m-2 = 0 ⇔ m = 2, thay m = 2 vào phương trình (1) ta được: -6x + 2 = 0 với m = 2 phương trình (1) có nghiệm duy nhất nên m = 2 nhận TH2: m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2, khi đó (1) là phương trình bậc hai. với phương trình (1) có nghiệm duy nhất nên nhậnVậy với hoặc m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất Đáp án A Câu 5: Cho phương trình x2 –(m - 1)x - m = 0 (1), kết luận nào sau đây đúng về phương trình (1) Phương trình vô nghiệm với mọi m B. Phương trình có nghiệm kép với mọi m C. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m D. Phương trình có nghiệm với mọi m Giải Phương trình (1) là phương trình bậc hai có hệ số a = 1, b = -m + 1, c = -m ⇒ a – b + c = 1 + m – 1 – m = 0 Do đó (1) có 2 nghiệm x = -1, x = m Vì nếu m = -1 thì (1) có 1 nghiệm x = -1 nên ta chỉ có thể khẳng định (1) có nghiệm với mọi m Đáp án D Câu 6: Số nghiệm của phương trình: 5x4 + 3x2 – 2 = 0 (1) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Giải Đặt t = x2 (điều kiện: t ≥ 0), phương trình (1) có dạng: 5t2 + 3t – 2 = 0 Ta có: a = 5, b = 3, c = -2 Đáp án B Câu 7: Số nghiệm của phương trình (2x2 + 3)2 – 10x3 – 15x = 0 (1) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Giải +) 2x2 + 3 = 0 ⇔ 2x2 = –3 ⇒ x2 = (vô nghiệm)+) 2x2 – 5x + 3 = 0, đây là phương trình bậc hai có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có 2 nghiệm: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: Đáp án B Câu 8: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện A. m = 2 B. m = 3 C. m = 0 D. m = 1 Giải Ta có: Δ' = (m + 1)2 - m2 - m + 1 = m2 + 2m + 1 - m2 - m + 1 = m+ 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2 Kết hợp với điều kiện m > -2 là các giá trị cần tìm.Đáp án D Câu 9: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 - 9x2 = 0 A. m = 1 B. m = 2 C. m = 3 D. m = 4 Giải Ta có: Δ' = (-5m)2 - 1.9m = 25m2 - 9m Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: Δ' > 0 ⇔ 25m2 - 9m > 0 Theo hệ thức Vi-ét ta có: từ (*) và giả thiết ta có hệ phương trình: Với m = 0 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với m = 1 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Kết luận: Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - 9x2 = 0. Đáp án A Câu 10: Tổng các nghiệm của phương trình x2 – x + 5 = 0 là A. -1 B. 1 C. Không tồn tại D. 5 Giải Phương trình x2 – x + 5 = 0 có ∆ = (-1)2 – 4.1.5 = 1 – 20 = -19 < 0 phương trình vô nghiệm nên không tồn tại tổng các nghiệm Đáp án là C Câu 11: Số nghiệm của phương trình làA. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Giải Điều kiện: x ≥ 0 Đặt √x = t (điều kiện: x ≥ 0), khi đó phương trình đã cho trở thành: 4t2 - 29t + 52 = 0 (1) có a = 4, b = -29, c = 52 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: Đáp án B Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình làA. 13 B. 14 C. 15 D. 16 Giải Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: Với t = 4 ⇒ √(x+1) = 4 ⇔ x + 1 = 16 ⇔ x = 15 (t/m) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 15, do đó tổng các nghiệm bằng 15 Đáp án C Câu 13: Cho phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 (m là tham số). Khẳng định nào sau đây đúng A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. B. Phương trình vô nghiệm C. Phương trình có nghiệm kép khi m = 2 D. Phương trình có một nghiệm x = -3 khi m = 1 Giải Ta có: Δ' = 12 - 1.(-m2 - 1) = 1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0, với mọi m Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Đáp án A Câu 14: Cho phương trình x2 + 2x - m2 = 0 Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1 = -3x2 Giải Ta có: Δ' = 12 - 1.(-m2) = 1 + m2 = m2 + 1 > 0, với mọi m Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. theo Vi-ét ta có:
Ta có x1 + x2 = -2 (do trên) và x1 = -3x2 nên ta có hệ phương trình sau: Thay (*) vào biểu thức x1x2 = -m2 ta được: Đáp án D Câu 15: Cho phương trình . Chọn khẳng định saiA. Phương trình có nghiệm dương B. Phương trình có một nghiệm C. Phương trình có nghiệm là số chia hết cho 3 D. Phương trình có nghiệm âm Giải Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3 Đáp án D Câu 16: Số nghiệm của phương trình x2 + |x - 1| = 1 là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Giải Vậy phương trình có hai nghiệm Đáp án B |