VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.  Nội dung bài viết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên Điểm A ở ngoài đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Trên d lấy điểm B bất kì (B 6= H). Khi đó Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. Điểm H được gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của A trên đường thẳng d. Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A dến đường thẳng d. Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d. A H B d 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. 4! Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. 3. Các đường xiên và các hình chiếu của chúng Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: 1 Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. 2 Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. 3 Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Chứng minh các tính chất về mối quan hệ giữa các đường xiên và các hình chiếu của chúng Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Cho hình vẽ, hãy chứng tỏ rằng : 1 Nếu HB HC thì AB AC và ngược lại, nếu AB AC thì HB HC. 2 Nếu HB = HC thì AB = AC và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC. A B H C LỜI GIẢI. Các tam giác HAB và tam giác HAC vuông tại H nên ta có ( HB2 = AB2 − AH2, HC2 = AC2 − AH2. 1 Với giả thiết HB HC ⇔ HB2 HC2 ⇔ AB2 −AH2 AC2 −AH2 ⇔ AB2 AC2 ⇔ AB AC (đpcm). 2 Với giả thiết HB = HC ⇔ HB2 = HC2 ⇔ AB2 −AH2 = AC2 −AH2 ⇔ AB2 = AC2 ⇔ AB = AC (đpcm). 4! Ta cũng có thể chứng minh được Nếu HB HC thì AB AC bằng việc sử dụng mối quan hệ góc với cạnh đối diện trong tam giác. Thật vậy, lấy điểm D trên HC sao cho HB = HD. Suy ra ∆ABD cân tại A ⇔ AB = AD. Trong ∆AHD ta có D 2 = H + HAD ⇒ D 2 là góc tù. Trong ∆ACD có D 2 là góc tù nên AC AD ⇒ AC AB. A H D C 1 2 DẠNG 2. Sử dụng tính chất về mối quan hệ giữa các đường xiên và các hình chiếu của chúng giải toán Phương pháp giải: VÍ DỤ 2. Cho ∆ABC có AB = AC = 5 cm, BC = 8 cm. Tính khoảng cách từ A đến BC. LỜI GIẢI. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến BC. Trong tam giác HAB vuông tại H, ta có: BH = 1 2 BC = 4 cm, vì ∆ABC cân tại A. AH2 = AB2 − BH2 = 52 − 4 2 = 25 − 16 = 9 ⇔ AH = 3 cm. Vậy khoảng cách từ A đến BC bằng 3 cm. A B H C VÍ DỤ 3. Cho ∆ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Chứng tỏ rằng HC HB. LỜI GIẢI. Trong ∆ABC vuông tại A ta có AC2 = BC2 − AB2 = 102 − 6 2 = 100 − 36 = 64 ⇔ AC = 8 cm ⇒ AC AB ⇔ HC HB (đpcm). A B H C Nhận xét. Trong ví dụ trên, nếu chúng ta không sử dụng tính chất về mối liên hệ giữa hình chiếu và đường xiên thì chúng ta cần đi xác định độ dài các đoạn thẳng BH và CH, để thực hiện công việc này rất cồng kềnh. VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên. LỜI GIẢI. Xét tam giác ABC cân tại A. Lấy một điểm D bất kì trên cạnh BC, chúng ta cần đi chứng minh AD ≤ AB. Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Nếu D thuộc cạnh BH thì DH ≤ BH ⇔ AD ≤ AB. Nếu D thuộc cạnh CH thì DH ≤ CH ⇔ AD ≤ AC ⇔ AD ≤ AB. A B D H D C VÍ DỤ 5. Cho ∆ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. 1 Tính khoảng cách từ A đến BC. 2 Vẽ cung tròn tâm A có bán kính bằng 9 cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không, có cắt cạnh BC hay không? Vì sao? LỜI GIẢI. a) Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến BC. Trong ∆HAB vuông tại H ta có BH = 1 2 BC = 6 cm, vì ∆ABC cân tại A. AH2 = AB2 − BH2 = 102 − 6 2 = 100 − 36 = 64 ⇔ AH = 8 cm. Vậy khoảng cách từ A đến BC bằng 8 cm. A H B D C b) Theo kết quả câu a) ta có AH 9 cm ⇒ Cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt đường thẳng BC. Giả sử cung tròn đó cắt đường thẳng BC tại D, suy ra AD = 9 cm AB ⇔ DH BH. Vậy cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt cạnh BC. Nhận xét. Qua ví dụ trên, ta thấy: Một cung tròn tâm A bán kính R sẽ cắt đường thẳng a nếu khoảng cách từ A đến đường thẳng a lớn hơn R. Để xét xem cung tròn tâm A bán kính R có cắt đoạn thẳng BC hay không, chúng ta cần so sánh R với các đường xiên AB và AC. VÍ DỤ 6. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M (M 6= B). Trên cạnh AC lấy điểm N (N 6= C). Chứng minh rằng MN BC. LỜI GIẢI. Nhận xét rằng: AM, AB theo thứ tự là hình chiếu của CM và CB, ta có AM AB ⇔ CM CB. (1) AN, AC theo thứ tự là hình chiếu của MN và MC, ta có AN AC ⇔ MN MC. (2) Từ (1) và (2) suy ra MN BC (đpcm). C N A M B 4! 1 Kết quả trên vẫn đúng khi thay ∆ABC vuông tại A bằng ∆ABC có Ab tù hoặc ∆ABC cân tại C hoặc ∆ABC có Ab ≥ B. 2 Ta có thể sử dụng mối quan hệ về góc và cạnh đối diện trong tam giác thực hiện ví dụ trên. Thật vậy Trong ∆BCM có BMC ÷là góc tù, do đó CM CB. (3) Trong ∆CMN có CNM ÷ là góc tù, do đó MN CM. (4) Từ (3) và (4) suy ra MN BC (đpcm). VÍ DỤ 7. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh đáy BC. Chứng minh rằng khi M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì tổng các khoảng cách từ M đến hai cạnh bên AB và AC vẫn không đổi. LỜI GIẢI. Kẻ đường cao BH, ME ⊥ AB, MF ⊥ AC. Kẻ MN k AC (N ∈ BH), suy ra MN ⊥ BH và MF = NH. (1) Xét hai tam giác vuông ∆BEM và ∆MNB ta có BM chung BMN ÷= Cb = B do đó ∆BEM = ∆MNB (cạnh huyền và góc nhọn). Suy ra ME = BN. (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta được MF + ME = NH + BN = BH không đổi. A N B M C H F E Vậy khi M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì tổng các khoảng cách từ M đến hai cạnh bên AB và AC vẫn không đổi. VÍ DỤ 8. Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm AC. Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. 1 So sánh AC với tổng AE + CF. 2 Chứng minh rằng AB 1 2 (BE + BF). LỜI GIẢI. 1 Ta lần lượt thấy Trong tam giác vuông EAM, ta có AM AE. (1) Trong tam giác vuông F CM, ta có CM CF. (2) Cộng theo vế (1), (2) ta được AM + CM AE + CF ⇔ AC AE + CF. A C F M B E 1 2 b) Xét hai tam giác vuông ∆EAM và ∆F CM, ta có: AM = CM, vì M là trung điểm AC Mc1 = Mc2, vì đối đỉnh do đó ∆EAM = ∆F CM (cạnh huyền và góc nhọn), suy ra EM = FM. Trong tam giác vuông ABM, ta có: AB BM, và vì BM = BE + EM nên AB BE + EM. (3) AB BM, và vì BM = BF − FM nên AB BF − FM. (4) Cộng theo vế (3), (4) và sử dụng kết quả EM = FM, ta được 2AB BE + BF ⇔ AB 1 2 (BE + FM), đpcm. 4! 1. Kết quả câu a) vẫn đúng khi ∆ABC tùy ý và M là điểm bất kì trên AC. 2. Kết quả câu b) vẫn đúng khi ∆ABC có góc Ab tù. VÍ DỤ 9. Cho ∆ABC cân tại A. Trên BC lấy các điểm D và E sao cho BAD = DAE = EAC. So sánh các độ dài: a) AB và AE. b) BD và DE. LỜI GIẢI. Ta có: B = Cb, vì ∆ABC cân tại A BAD = EAC, giả thiết suy ra ADB = AEC ⇔ ADE = AED ⇔ ∆ADE cân tại A. Khi đó, gọi H là trung điểm DE thì AH ⊥ DE. A C E H D B 1 Vì BH, DH theo thứ tự là hình chiếu của AB và AD, ta có BH DH ⇔ AB AD ⇔ AB AE, vì AD = AE. b) Lấy điểm F trên AB sao cho AE = AF. Xét hai tam giác ∆AED và ∆AF D, ta có: AF = AE Ab2 = Ab1, giả thiết AD chung do đó ∆AED = ∆AF D suy ra: DE = DF E 1 = Fb1 ⇔ E 2 = Fb2. (1) A D B E F 1 2 2 1 1 2 Mặt khác, ta lại có E 2 B, vì E 2 là góc ngoài của ∆ABE. (2) Từ (1) và (2) suy ra Fb2 B. Khi đó, trong ∆BDF vì Fb2 B nên BD DF ⇔ BD DE.
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu – Sách bài tập Toán 7 tập II ĐỀ BÀI: Bài 11. Cho hình 1. So sánh độ các độ dài AB, AC, AD, AE.
Bài 12. Cho hình 2. Chứng minh rằng MN < BC
Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không có cắt cạnh BC hay không? Vì sao? Bài 14 Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF. Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng AB < ( BE + BF ) / 2. Bài 16. Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng độ dài AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác ABC. Bài 17. Cho hình 3 trong đó AB > AC. Chứng minh rằng EB > AC.
Bài 18. Cho hình 4 . Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC.
BÀI TẬP BỔ SUNG: Bài 2.1. Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? (A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d (B) Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. (C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. (D) Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng. Bài 2.2. Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: (A) AB > AC (B) AB = AC (C) AB > AC (D) AH > AB Bài 2.3. a) Hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’ có AB = A’B’, AC > A’C’. Không sử dụng định lý Pitago, chứng minh rằng BC > B’C’. b) Hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’ có AB = A’B’, BC > B’C’. sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng AC > A’C’ Bài 2.4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BD là đường phân giác của góc B (D ∈ AC). Chứng minh rằng BD > BC. Bài 2.5. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy a) Tìm trên đường thẳng xy hai điểm M, N sao cho hai đường xiên AM và AN bằng nhau. b) Lấy một điểm D trên đường thẳng xy. Chứng minh rằng: – Nếu D ở giữa M và N thì AD < AM ; – Nếu D không thuộc đoạn thẳng MN thì AD > AM. Bài 2.6. a) Hãy nêu cách vẽ đường xiên PQ, PR sao cho PQ = PR và góQPR=60∘. b) Trong hình dựng được ở câu a), cho PQ = 18cm. Tính độ dài hình chiếu của hai đường xiên PQ, PR trên d. Xem thêm: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ: Bài 11. (h.31) AB < AC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).
BC < BD < BE => AC < AD < AE (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu). Vậy AB<AC<AD<AE. Bài 12. (h. 32)
Hình chiếu AN < hình chiếu AC => đường xiên BN < đường xiên BC. (1) Hình chiếu AM < hình chiếu AB => đường xiên NM < đường xiên NB. (2) Từ (1) và (2) suy ra : MN < BN < BC. Bài 13. (h.33)
Kẻ AH ⊥ BC. tam giác AHB = tam giác AHC ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên : HB = HC = BC/2 = 6 cm. Xét tam giác AHC vuông tại H. Theo định lí Py-ta-go :
Do 9cm > 8cm nên cung tròn tâm A bán kính 9cm cắt đường thẳng BC. Gọi D là giao điểm của cung đó với đường thẳng BC (giả sử D và C nằm cùng phía vói H trên đường thẳng BC). Đường xiên AD nhỏ hơn đường xiên AC nên hình chiếu HD nhỏ hơn hình chiếu HC. Do đó D nằm giữa H và c. Vậy cung tròn tâm A nói trên cắt cạnh BC. Bài 14. (h. 34)
Xét tam giác ADE vuông tại E : AE < AD (1) Xét tam giác CDF vuông tại F : CF < CD (2) Từ (1) và (2): AE + CF < AD + CD = AC Bài 15. (h.35)
Tam giác ABM vuông góc tại A =AB < BM. Do đó: AB < BE + M và AB < BF – MF tam giác MAE = tam giác MCF (cạnh huyền – góc nhọn) => ME = MF. (3) Từ (1), (2), (3) suy ra AB + AB < BE + B Do đó 2AB < BE + BF nên AB < ( BE + BF ) / 2. Bài 16. (h.36)
Kẻ AH ⊥ BC. – Nếu D trùng H thì AD < AC VÌ AH < AC (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên). – Nếu D không trùng H, giả sử D nằm giữa H và Ta có HD < HC => AD < AC (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn). Vậy AD nhỏ hơn cạnh bên của A ABC Bài 17. (h. 37)
AB > AC => HB > HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn). HB > HC => EB > EC (hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn). Bài 18. (h. 38)
tam giác ABD vuông tại D => BD < AB. Tam giác ACE vuông tại E => CE < AC. Suy ra : BD + CE < AB + AC. BÀI TẬP BỔ SUNG: Bài 2.1. Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc vói một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước. Bởi vậy, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. A. Đúng B. Sai C. Sai D. Đúng
Trong hình bs.4, AH là đường vuông góc (duy nhất) và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d (có thể kẻ được vô số đường xiên như thế). Bài 2.2. Theo định lí so sánh giữa hình chiếu và đường xiên ta có HB < HC => AB < AC. Chọn (C). Bài 2.3. a) (h.bs.5)
Do AC > A’C’ nên lấy được điểm C1 ’ trên cạnh AC sao cho AC1 = A’C’. Ta có tam giác vuông ABC1 bằng tam giác vuông A’B’C’, suy ra B’C’ = BC1. Mặt khác hai đường xiên BC và BC1 kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AC1 . Vì AC > AC1 nên BC > BC1 , suy ra BC > B’C. b) Dùng phản chứng :
(Nếu sử dụng định lí Py-ta-go thì có thể giải bài toán như sau : Trong tam giác vuông ABC có BC2 = AB2 + AC2. Trong tam giác vuông A’B’C’ có B’C’2 = A’B’2 + A’C’2. Theo giả thiết AB = A’B’ nên từ (1), (2) ta có : Nếu AC > A’C’ thì AC2 > A’C2, suy ra BC2 > B’C’2 hay BC > B’C’; Nếu BC > B’C’ thì BC2 > B’C’2, suy ra AC2 > A’C’2 hay AC > A’C’). (h.bs.6)
Do BD là tia phân giác của góc ABC nên tia BD ở giữa hai tia BA và BC, suy ra D ở giữa A và c, hay AD < AC. Hai đường xiên BC, BD lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AD. Hơn nữa AD < AC, suy ra BD < BC. (Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được đoạn thẳng nối B với trang điểm của đoạn thẳng AC nhỏ hơn BC). Bài 2.5. a) Phân tích bài toán : Giả sử M và N là hai điểm của đường thẳng xy mà AM = AN. Nếu gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến xy thì HM, HN lần lượt là hình chiếu của các đường xiên AM, AN.Từ AM = AN suy ra HM = HN, từ đó xác định được hai điểm M, N. Giải (h.bs.7)
Kẻ AH vuông góc với xy (H ∈ xy). Lấy hai điểm M, N trên xy sao cho HM = HN. (1) (Dùng compa vẽ một đường tròn tâm bán kính tuỳ ý ; đường tròn này cắt đường thẳng xy tại hai điểm M, N thoả mãn HM = HN). Hai đường xiên AM, AN lần lượt có bình chiêu là HM và HN, do đó từ (1) suy ra AM = AN. b) Xét trường hợp D ở giữa M và N.
Theo a) ta có AM = AN nên AD < AM. Vậy khi D ở giữa M vàN thì ta luôn có AD < AM. Xét trường hợp D không thuộc đoạn thẳng MN (D ∈ xy). Khi đó HD > HM (hoặc HD > HN) nên AD > AM. Bài 2.6. a) Phân tích bài toán Giả sử PQ và PR là hai đường xiên kẻ từ p đến d sao cho PQ = PR và góc QPR = 60°. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ p đến d. Khi đó tam giác PHQ = tam giác PHR (cạnh huyền, cạnhgóc vuông), suy ra góc HPQ = góc HPR = 30°. Từ đó ta suy ra cách vẽ hai đường xiên PQ và PR. Giải (h.bs.8)
Kẻ PH ⊥ d (H ∈ d). Dùng thước đo góc để vẽ góc HPx bằng 30°. Tia Px cắt d tại điểm Q. Trên d lấy điểm R sao cho HR = HQ. Hai đường xiên PQ và PR lần lượt có hình chiếu trên d là HQ và HR. Do HQ = HR nên PQ = PR. Hơn nữa góc QPR = 2 lần góc HPQ = 60° b) Hướng dẫn
Related |
