Dưới đây là tài liệu Ôn tập Toán 11 Chương 5 về Đạo hàm được HỌC247 biên soạn nhằm giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Đạo hàm là kiến thức nền tảng phục vụ cho chương trình Giải tích 12, nên đòi hỏi các em phải học thật tốt chương này và ghi nhớ được các công thức tính đạo hàm. Ngoài ra, tài liệu còn cung cấp thêm nội dung các bài học, giải bài tập SGK cùng bài tập trắc nghiệm giúp các em luyện tập thêm sau khi hoàn thành xong bài học trên lớp. HỌC247 cũng sưu tầm và biên soạn thêm một số đề kiểm tra 1 tiết từ các trường THPT trên cả nước gửi đến các em. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em ôn tập thật hiệu quả. Show Đề cương Ôn tập Toán 11 Chương 5A. Tóm tắt lý thuyết1.1. Hệ thống kiến thức Chương 51. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.\)
Nếu kí hiệu \(\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) thì: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\) Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó. Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau: Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) không tồn tại. Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại \(x_0.\)
Tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})\) Lập tỷ số: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Ý nghĩa hình học Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C): \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C).\) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\) Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\) Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\) Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\) Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C). Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\) Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\) Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\) Ý nghĩa vật lý Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là \(v(t_0)=s'(t_0).\) Cướng độ tức thời của điện lượng \(Q=Q(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là: \(I(t_0)=Q'(t_0).\) 2. Vi phân
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\) Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\) Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)
Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số \(y=f(x)\) Phương pháp Tính đạo hàm f'(x). Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\) Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức Phương pháp Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp. Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\) Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\) 3. Đạo hàm cấp hai
Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\) Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b). Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x. Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\) \({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)
Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t. 1.2. Các công thức tính đạo hàmBẢNG 1: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11 Hàm số Hàm hợp tương ứng \({\left( C \right)\prime } = 0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( x \right)\prime } = 1\) \({\left( {{x^n}} \right)\prime } = n.{x{n - 1}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\) \({\left( {{u^n}} \right)\prime } = n.{u{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\) \({\left( {\sqrt x } \right)\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right)\) \(\,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)\) \({\left( {\sin x} \right)\prime } = \cos x\,\,\,\) \({\left( {\sin u} \right)\prime } = u.'\cos u\) \({\left( {\cos x} \right)\prime } = - \sin x\,\) \({\left( {\cos u} \right)\prime } = - u'.\sin u\) \({\left( {\tan x} \right)\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\) \(\,\,{\left( {\tan u} \right)\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }2}u}}\,\) \({\left( {\cot x} \right)\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }2}x}}\,\,\) \(\,\,{\left( {\cot u} \right)\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,\) B. Bài tập minh họaBài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
Hướng dẫn giải
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng
Hướng dẫn giải
Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}
Bài 4: Chứng minh \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\) Hướng dẫn giải Ta có \(y' = - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\) Khi đó \(y' + 2{y^2} + 2 = - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 = \frac{{ - 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm) Trắc nghiệm Toán 11 Chương 5
Đề kiểm tra Toán 11 Chương 5Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 5 Toán 11 (Thi Online)Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.
Đề kiểm tra Chương 5 Toán 11 (Tải File)Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.
Lý thuyết từng bài Chương 5 và hướng dẫn giải bài tập SGKLý thuyết các bài học Toán 11 Chương 5
Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 5
Trên đây là tài liệu Ôn tập Toán 11 Chương 5 Đạo hàm. Hy vọng với tài liệu này, các em sẽ giúp các em ôn tập và hệ thống lại kiến thức Chương 5 thật tốt. Để thi online và tải file đề thi về máy các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net và ấn chọn chức năng "Thi Online" hoặc "Tải về". Ngoài ra, các em còn có thể chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247 ! |