tốc chuyển động gần với vận tốc �nh s�ng. �ặc điểm của cơ học lượng tử, như t�n của n�, nghi�n cứu về t�nh chất lượng tử h�a của c�c đại lượng vật l� li�n quan đến chuyển động vi m�. Quan điểm về x�c suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử bởi v� theo nguy�n l� Heisenberg ta kh�ng thể x�c định ch�nh x�c đồng thời vị tr� v� vận tốc của hạt vi m�, kh�ng x�c định được quỹ đạo của hạt chuyển động. Thế n�n trong phần đầu của chương, ta sẽ giới thiệu sơ bộ về l� thuyết x�c suất. 1.B�i to�n mở đầu Giả sử trong một ph�ng họp c� sự ph�n bố số người dự họp theo số tuổi như sau: C� 1 người 14 tuổi. Biểu diễn ( N(14)=1 C� 1 người 15 tuổi. ( N(15)=1 C� 3 người 16 tuổi. ( N(16)=3 C� 2 người 22 tuổi. ( N(22)=2 C� 2 người 24 tuổi. ( N(24)=2 C� 5 người 25 tuổi. ( N(25)=5 Tổng qu�t N(J) l� h�m theo c�c biến nguy�n biểu thị số người c� c�ng số tuổi l� J. Sự ph�n bố được biểu diễn như đồ thị (H�nh 3.1) sau đ�y 2. C�c đại lượng đặc trưng Khi n�i đến b�i to�n ph�n bố ta x�t đến khả năng chọn lựa một biến cố bất kỳ, v� dụ như b�i to�n tr�n l� khả năng chọn ra một người c� số tuổi l� J n�o đ�. Muốn t�nh khả năng nầy ta phải biết: 
Giả sử b�y giờ ta t�nh ch�nh x�c tuổi từng người theo ng�y th�ng năm v� giờ sinh: Trong b�i to�n tr�n (J) sẽ l� c�c biến số dương v� li�n tục, c� thể viết l� (x). H�m ph�n bố số tuổi c� thể viết lại l� P(x) v� đ�y l� x�c suất t�m ch�nh x�c một người c� tuổi x n�o đ� trong ph�ng họp. P(x) thường được gọi l� mật độ x�c suất. Trong trường hợp tổng qu�t th� biến x l� biến thực. X�c suất t�m ra một số người c� tuổi trong khoảng x+dx sẽ l�: ở đ�y ta cần lấy cận t�ch ph�n tiến về v� c�ng bởi v� biến x nhận c�c gi� trị thực. Gi� trị trung b�nh của biến x trong trường hợp nầy được gọi l� kỳ vọng t�an học của x: II. H�M S�NG (WAVE FUCTION) Theo giả thuyết Broglie th� đối với c�c hạt vi m� ngo�i t�nh hạt c�n c� t�nh s�ng, vậy ta h�y thử m� tả hạt vi m� như l� một s�ng v� đ� cũng l� � định của những người s�ng lập m�n học cơ học lượng tử.
Ở đ�y ta d�ng h�m phức c� dạng: thay cho h�m thực để m� tả trạng th�i chuyển động của hạt, bởi v� c�c nh� vật l� cho rằng s�ng Broglie l� một dao động phức tạp. H�m s�ng phức gi�p ta biết được trạng th�i vi m� của c�c hạt chuyển động với vận tốc kh� lớn v� rất kh� x�c định g�a trị ch�nh x�c của vận tốc. 3. T�nh th�ng k� của h�m s�ng X�t một ch�m hạt ph�ton chuyển động trong kh�ng gian qua một phần tử c� thể t�ch l� (V bất kỳ bao quanh một điểm M. Theo thuyết s�ng �nh s�ng th� cường độ s�ng tại M tỷ lệ với b�nh phương bi�n độ của biểu thức dao động s�ng: 4. Điều kiện chuẩn h�a Khi t�m hạt trong to�n bộ kh�ng gian m� hạt cư tr�, ta chắc chắn sẽ t�m thấy hạt, nghi� l� x�c suất t�m thấy hạt trong to�n bộ kh�ng gian hạt cư tr� l� bằng 1 Phương tr�nh 3.22 được gọi l� điều kiện chuẩn h�a của h�m s�ng. Như vậy h�m s�ng cho hạt chuyển động ( ta mượn biểu thức từ sự truyền s�ng cơ trong kh�ng gian nhưng h�m s�ng nầy kh�ng m� tả một dao động thực n�o m� n� chỉ cho ta x�c suất t�m hạt tại một trạng th�i n�o đ�. N�i c�ch kh�c h�m s�ng ( viết cho hạt th� mang t�nh thống k�. 5. Điều kiện của h�m s�ng H�m s�ng phải thoả mản c�c điều kiện sau đ�y: 1- Giới nội. Nếu h�m s�ng kh�ng giới nội th� t�ch ph�n (3.21) l� ph�n kỳ n�n m�u thuẩn với � nghĩa x�c suất. 2- �ơn trị. Nếu h�m s�ng kh�ng đơn trị th� ứng với mỗi trạng th�i c� nhiều x�c suất t�m thấy hạt kh�c nhau. �iều đ� th� m�u thuẩn với l� thuyết x�c suất. 3- Li�n tục. �iều nầy l� do x�c suất kh�ng thể thay đổi một c�ch nhảy vọt. 4- �ạo h�m bậc nhất của h�m s�ng phải li�n tục (sẽ đề cập ở phần sau). 6. Quan hệ giữa s�ng Broglie v� hạt chuyển động 7. Vận tốc Pha - Vận tốc nh�m Biểu thức 3.25 chứng tỏ vận tốc u lớn hơn vận tốc �nh s�ng điều nầy c� nghi� l� vận tốc pha kh�ng phải l� vận tốc truyền hạt hay truyền năng lượng. Cơ học lượng tử cho rằng chuyển động của c�c hạt kh�ng phải ứng với c�c s�ng đơn sắc ri�ng biệt m� ứng với một tập hợp s�ng c� bước s�ng gần bằng nhau (�iều nầy nhiễu xạ của electron đ� chứng tỏ khi c�c v�n nhiễu xạ c� độ rộng nhất định chứ kh�ng phải một vạch mảnh). Vậy nhiễu xạ tạo ra kh�ng phải bởi một s�ng m� l� do nhiều s�ng c� bước s�ng gần nhau. B� s�ng l� g�: Một tập hợp gồm nhiều s�ng c� bước s�ng gần bằng nhau. Bi�n độ của b� s�ng l� tổng hợp của bi�n độ c�c s�ng th�nh phần; c�n h�m s�ng m� tả cho b� s�ng l�:
To�n tử l� g�: To�n tử l� một �nh xạ khi t�c dụng l�n một h�m bất kỳ th� n� biến h�m đ� th�nh một h�m kh�c: Vậy ta c� to�n tử được th�nh lập từ hai to�n tử bằng ph�p cộng v� trừ. Ph�p cộng c� t�nh chất giao ho�n v� kết hợp 2. H�m ri�ng v� trị ri�ng của to�n tử: trong đ� a l� một g�a trị n�o đ� m� ta gọi l� trị ri�ng ứng với h�m ri�ng đ�. Như vậy khi ta t�c dụng to�n tử l�n h�m ri�ng của n� th� ta được ch�nh h�m ri�ng đ� nh�n với trị ri�ng tương ứng với h�m ri�ng đ�. Trị ri�ng của một to�n tử c� thể lấy c�c gi� trị gi�n đoạn hoặc c�c g�a trị li�n tục. Số lượng trị ri�ng của một to�n tử c� thể l� hữu hạn hoặc l� v� hạn. 3. C�c to�n tử trong cơ học lượng tử a-Biến số động lực học: C�c nh� s�ng lập cơ học lượng tử cho rằng nếu như trong cơ học cổ điển trạng th�i của hệ được x�c định bằng một tập hợp c�c biến số như toạ độ, vận tốc, xung lượng, năng lượng th� trong cơ học lượng tử một trạng th�i của hệ được đặc trưng bằng c�c biến số động lực học tương tự như c�c biến số trong cơ học cổ điển . b- Trong q�a tr�nh sử dụng c�c biến số động lực học người ta phải chấp nhận một số ti�n đề sau đ�y : Ti�n đề 1: Mỗi biến số động lực học được biểu diễn bằng một to�n tử HERMITE c� phổ trị ri�ng l� c�c số thực m� n� được đo đạc thực nghiệm từ biến số của đại lượng vật l� cổ điển tương ứng. V� dụ to�n tử năng lượng c� phổ trị ri�ng l� c�c g�a trị năng lượng được đo từ thực nghiệm. Ti�n đề 2: Hệ thức giữa c�c to�n tử trong cơ học lượng tử c� dạng giống hệt như dạng c�c biến số của đại lượng trong cơ học cổ điển tương ứng. Sau đ�y ta giới thiệu một số to�n tử th�ng dụng trong cơ học lượng tử : IV. PHƯƠNG TR�NH SCHRODINGER (SCHRODINGER EQUATION) Nhắc lại h�m s�ng Broglie cho một hạt chuyển động tự do c� năng lượng E v� xung lượng P l�: T�m lại phương tr�nh Schrodinger m� tả sự vận động của vi hạt c� vai tr� giống như phương tr�nh định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Giải phương tr�nh Schrodinger trong kh�ng gian rất phức tạp n�n đơn giản ta chỉ giải những b�i to�n một chiều.
Kết qủa quan trọng của b�i to�n l� năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế chỉ c� thể nhận những g�a trị gi�n đoạn (g�a trị đ� tỷ lệ với b�nh phương c�c số nguy�n). Ta c� thể x�c định hằng số A trong nghiệm (3.51) bằng điều kiện chuẩn h�a: X�t một hạt c� khối lượng m chuyển động tr�n trục x chịu t�c dụng của một lực F tỷ lệ với x v� tr�i dấu với x. Theo cơ học cổ điển hạt sẽ dao động quanh vi tr� c�n bằng x=0 v� thế ta gọi n� l� dao động tử điều h�a. Phương tr�nh của dao động tử điều ho� theo cơ học cổ điển l�: Hệ số phản xạ v� hệ số truyền qua Hệ số phản xạ R: l� tỷ số giữa b�nh phương bi�n độ s�ng phản xạ tại r�o thế v� b�nh phương bi�n độ s�ng tới tại h�ng r�o thế. Nếu x�t tr�n phương diện �nh s�ng th� hệ số phản xạ l� tỷ số mật độ ph�t�n phản xạ v� mật độ ph�t�n tới trong một đơn vị thời gian. Hệ số truyền qua D: l� tỷ số giữa b�nh phương bi�n độ s�ng truyền qua h�ng r�o thế v� b�nh phương bi�n độ s�ng tới tại h�ng r�o thế. Nếu x�t tr�n phương diện �nh s�ng th� hệ số truyền qua l� tỷ số mật độ ph�t�n truyền qua h�ng r�o thế v� mật độ ph�t�n tới trong một đơn vị thời gian. Theo định luật bảo to�n năng lượng th�: R+D =1 3.86 Ta h�y t�nh hệ số truyền qua h�ng r�o D đ� l� tỷ số giữa b�nh phương bi�n độ s�ng qua h�ng r�o v� b�nh phương bi�n độ s�ng tới h�ng r�o: Hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra đối với k�ch thước vi m�. Nghĩa l� hệ số truyền qua D chỉ đ�ng kể khi độ rộng hố thế a l� rất nhỏ, khi đ� hạt thể hiện t�nh chất s�ng của vi hạt v� điều đ� kh�ng thể c� với c�c hạt vĩ m�. Hiệu ứng đường ngầm nầy cho ph�p ta giải th�ch nhiều hiện tượng trong tự nhi�n như hiện tượng ph�t electron trong kim loại m� kh�ng cần cung cấp nhiệt lượng. Người ta thường gọi đ� l� sự ph�t xạ elctron lạnh. Muốn electron tho�t ra khỏi bề mặt kim loại, ta cần nung n�ng kim loại để n� c� đủ năng lượng thắng c�ng cản m� vượt qua h�ng r�o thế. Tuy nhi�n do hiệu ứng đường ngầm n�n ngay ở nhiệt độ ph�ng b�nh thường (300 0K) electron cũng c� khả năng tho�t ra khỏi kim loại.
Hệ số truyền qua của vi hạt trong Hiệu ứng đường ngầm phụ thuộc: |
