Tóm tắt hàm số liên tục định lí trung bình năm 2024

Tài liệu gồm có 27 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán liên quan đến chuyên đề hàm số liên tục trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

Khái quát nội dung tài liệu tự học hàm số liên tục – Nguyễn Trọng:

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số liên tục tại 1 điểm. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn. 3. Tính chất của hàm số liên tục.
2. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM. Hàm số liên tục tại điểm x = x0 khi f(x0) = lim f(x) khi x tiến đến x0 hoặc f(x0) = lim f(x) khi x tiến đến x0- = lim f(x) khi x tiến đến x0+. DẠNG 2. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH (TXĐ). Hàm số liên tục tại điểm x = x0 khi f(x0) = lim f(x) khi x tiến đến x0 hoặc f(x0) = lim f(x) khi x tiến đến x0- = lim f(x) khi x tiến đến x0+. [ads] DẠNG 3. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM. + Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số f(x) liên tục trên D và có hai số a, b thuộc D sao cho f(a).f(b) < 0. + Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a_i;a_i+1) với i = 1;2;3…k nằm trong D sao cho f(a_i).f(a_i+1) < 0. Chú ý: Hàm số đa thức liên tục trên R. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Khi hàm số đã liên tục trên R rồi, sẽ liên tục trên mỗi khoảng (a_i;a_i+1) mà ta cần tìm.

Xem thêm: Tài liệu tự học giới hạn của hàm số – Nguyễn Trọng

• Giới Hạn - Hàm Số Liên Tục

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Chương 1

Lý thuyết

1.1 Các định lý về giá trị trung bình

Định lý 1.1.1 (Fecmat).Cho hàm fxác định trên (a, b)và c∈(a, b). Nếu fđạt

cực trị địa phương tại cvà f′(c)tồn tại thì f′(c) \= 0.

Định lý 1.1.2 (Rolle).Cho hàm fliên tục trên [a, b]và khả vi trên (a, b). Nếu

f(a) \= f(b)thì tồn tại c∈(a, b)sao cho f′(c) \= 0.

Định lý 1.1.3 (Lagrange).Cho hàm fliên tục trên [a, b]và khả vi trên (a, b).

Khi đó tồn tại c∈(a, b)sao cho

f′(c) \= f(a)−f(b)

a−b.

Định lý 1.1.4 (Cauchy).Cho hai hàm số fvà gliên tục trên [a, b], khả vi trên

(a, b). Khi đó tồn tại c∈(a, b)sao cho

[f(b)−f(a)]g′(c) \= [g(b)−g(a)]f′(c).

Định lý 1.1.5 (Darboux).Cho hàm fkhả vi trên (a, b)và c, d ∈(a, b). Khi đó

f′nhận mọi giá trị trung gian giữa f′(c)và f′(d).

1.2 Khai triển Taylor và quy tắc L’Hospital

Định lý 1.2.1. Nếu hàm số f: (a, b)→Rcó các đạo hàm đến cấp n−1trên

(a, b)và có đạo hàm cấp ntại điểm x0∈(a, b)thì với hđủ nhỏ ta có

f(x0+h) \= f(x0) + f′(x0)

1! h+f′′(x0)

2! h2+. . . +f(n)(x0)

n!hn+o(hn).

Phần dư o(hn)được gọi là phần dư Peano.

1