100% found this document useful (1 vote) 191 views 9 pages Copyright© Attribution Non-Commercial (BY-NC) Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?100% found this document useful (1 vote) 191 views9 pages Phuong Trinh Bac Cao1 S ơ L ượ c V ề Ph ươ ng Trình B ậ c Cao Nguy ễ n Thành Luân, K33, SP Toán, Đạ i H ọ c C ầ n Th ơ Mai Qu ố c Tu ấ n, T ố ng Hoàng Nguyên, Võ Minh Nh ậ t, l ớ p 10T1 THPT Chuyên Nguy ễ n B ỉ nh Khiêm, V ĩ nh Long 1. L ờ i gi ớ i thi ệ u Con ng ườ i đ ã bi ế t v ề ph ươ ng trình và các cách gi ả i ph ươ ng trình b ậ c nh ấ t, b ậ c hai khá s ớ m (kho ả ng 2000 TCN ) nh ư ng mãi đế n đế n th ế k ỷ th ứ XVI, các nhà toán h ọ c La Mã là Tartlia ( 1500 - 1557), Cardano (1501 - 1576) và nhà toán h ọ c Ferrari (1522 - 1565) m ớ i gi ả i đượ c các ph ươ ng trình b ậ c ba và b ậ c b ố n d ạ ng t ổ ng quát. Đế n t ậ n đầ u th ế k ỷ XIX, nhà toán h ọ c ng ườ i Na Uy Henrik Abel ch ứ ng minh đượ c r ằ ng không có cách gi ả i ph ươ ng trình t ổ ng quát b ậ c l ớ n h ơ n b ố n b ằ ng các ph ươ ng toán h ọ c thông th ườ ng c ủ a đạ i s ố . Không lâu sau đ ó, nhà toán h ọ c ng ườ i Pháp Évariste Galois đ ã hoàn t ấ t công trình lý thuy ế t v ề ph ươ ng trình đạ i s ố c ủ a loài ng ườ
ậ y, trong chuyên đề kì này chúng ta s ẽ tìm hi ể u k ỉ h ơ n v ề cách gi ả i các ph ươ ng trình trên, kèm theo đ ó là m ộ t s ố ví d ụ c ụ th ể v ề các ph ươ ng trình d ạ ng đặ c bi ệ t h ơ 2. Ph ươ ng Trình B ậ c 3 2.1 Ph ươ ng trình b ậ c 3 có d ạ ng 32 0 AX BX CX D + + + \= ( ) 0 A ≠ (1) Vào n ă m 1545, Cardano đ ã công b ố cách gi ả i ph ươ ng trình (1) Tr ướ c h ế t do 0 A ≠ nên chia hai v ế c ủ a (1) cho A , ta đượ c ph ươ ng trình d ạ ng 32 0 X mX nX c + + + \= (2) B ằ ng cách đặ t 3 m X x \= − , ta đư a (2) v ề ph ươ ng trình b ậ c 3 thi ế u 3 0 x ax b + + \= (3), v ớ i 2 3 ma n \= − và 3 2273 m mnb c \= + − Đặ t x u v \= + . Nh ư th ế v có th ể ch ọ n giá tr ị tùy ý. Thay vào (3) ta có 333 ()()0()()(3)0 u v a u v b u v b u v uv a + + + + \= ⇔ + + + + + \= Ch ọ n v sao cho 30 uv a + \= , bài toán quy v ề h ệ ph ươ ng trình 33 3 u v bauv + \=− − \= hay 33333 27 u v bau v + \=− − \= Nh ư v ậ y 33 , u v là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 32 027 at bt + − \= (4) Đặ t 32 427 ab ∆\= + . N ế u 0 ∆\> thì ph ươ ng trình (4) có hai nghi ệ m phân bi ệ t 3 2 bv − − ∆\= , 3 2 bu − + ∆\= Do đ ó công th ứ c nghi ệ m t ồ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (3) là : 3 2 b x − + ∆\= + 3 2 b − − ∆ v ớ i 32 427 ab ∆\= + V ậ y công th ứ c nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (1) là 2 33 223 b b m X − + ∆ − − ∆\= + − V ớ i tr ườ ng h ợ p 0 ∆≤ thì c ũ ng có th ể s ử d ụ ng công th ứ c Cardano nh ư ng khi 0 ∆< ph ả i bi ế t khai c ă n b ậ c ba c ủ a s ố ph ứ c, đ ó là m ộ t v ấ n đề r ấ t ph ứ c t ạ
đ ây chúng tôi s ẽ gi ớ i thi ệ u v ớ i các b ạ n ph ươ ng pháp l ượ ng giác s ử d ụ ng khi 0 ∆≤ . Trong 33 0 x ax b x ax b + + \= ⇔ + \=− . Ta đặ t cos x k y \= thì 33 coscos k y ak y b + \=− (5) Đặ t 2 43 ak \=− (vì 0 ∆≤ thì 0 p ≤ ) thì ph ươ ng trình (5) tr ở thành 3 3334cos3cos4 b b y yka a a − \= \=− . Nh ư ng 32 433301274 a b bbka a a ∆\= + ≤ ⇔ = ≤− . Đặ t 3cos bGka \= , thì 2 4cos3coscos y y G − \= . Suy ra nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 3 0 x ax b + + \= là 123 24cos;cos;cos333 G G G x k x k x k π π + + \= \= \= . Do đ ó nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (1) khi 0 ∆≤ là 123 24cos,cos,cos333333 G m G m G m X k X k X k π π + + \= − \= − \= − . Nh ậ n xét. 0 ∆\> thì ph ươ ng trình (1) có 1 nghi ệ m đơ
∆\= thì ph ươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m, trong đ ó có 1 nghi ệ m kép. 0 ∆< thì ph ươ ng trình (1) có 3 nghi ệ m phân bi ệ M ộ t s ố tr ườ ng h ợ p đặ c bi ệ t: N ế u 0 a b c d + + + \= thì ( ) 1 có nghi ệ m 1 x \= . N ế u 0 a b c d − + − \= thì ( ) 1 có nghi ệ m 1 x \=− . N ế u ,,, a b c d ∈ ℤ thì ( ) 1 thì có nghi ệ m h ữ u t ỉ pq thì , p q theo th ứ t ự là ướ c c ủ a d và a . N ế u ( ) 33 ,0 ac db a d \= ≠ thì ( ) 1 có nghi ệ m c xb \=− Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình 32 2220 x x x + − − \= . L ờ i gi ả
ậ n xét. Vì ( ) 333 1.222 ac db \= − \= \=− nên ph ươ ng trình có nghi ệ m 2 c xb \=− \= . Bi ế n đổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng ( ) ( ) ( ) ( ) 22 202212022120 x x x x x x x − \=− − + + \= ⇔ ⇔ \=− + + \= . 2.2 M ộ t s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Gi ả i ph ươ ng trình 32 312160 y y y + + − \= . L ờ i gi ả Đặ t 1 y x \= − , ta có ( ) ( ) ( ) 323 1311211609260 x x x x x − + − + − − \= ⇔ + − = . Ta có 3322 44.(9)(26)78402727 ab ∆\= + \= − + \= \> , 3 26784273122 bu u v − + ∆ +\= \= \= ⇒ \= ⇒ \=− . 3 Vì ph ươ ng trình 3 9260 x x + − \= có nghi ệ m 312 x \= − \= nên ph ươ ng trình đ ã cho có m ộ t nghi ệ m 1 y \= . Ví d ụ 2. Gi ả i ph ươ ng trình 32 7115039 y y y + + − \= . L ờ i gi ả i . Đặ t 5,3 y x \= − ta có 323 5575115064033339 x x x x x − + − + − − \= ⇔ − + \= 33222 44.(6)44160,82227273 a ab k k − −∆\= + \= + \=− < \= \= ⇒ \= Suy ra 33.41cos1356.222 bG Gak −\= \= \= ⇒ \= °− . Do đ ó : 1 135122.cos.22.232 x °\= \= \= , ( ) 2 13536022.cos.22cos16522cos15313 x °+ °\= \= °\=− °\=− − , 3 13572022.cos22.cos28522.cos75313 x °+ °\= \= °\= °\= − . Do đ ó ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m là 1 51233 y \= − \= , ( ) 2 53383133 y − −\=− + − \= và 3 53383133 y −\= − − \= . 2.3 Đị nh lí Viète c ủ a ph ươ ng trình b ậ c ba N ế u ph ươ ng trình b ậ c ba ( ) 32 00 Ax Bx Cx D A + + + \= ≠ có 3 nghi ệ m 123 ,, x x x thì 123121323123 B x x x AC x x x x x x A D x x x A − + + \=+ + \= −\= . Bài t ậ p áp d ụ ng. Gi ả s ử ph ươ ng trình 32 0 x ax bx c + + + \= có ba nghi ệ m 123 ,, x x x . Hãy tìm m ố i liên h ệ gi ữ a ,, a b c khi 2132 x x x \= . L ờ i gi ả i. Theo đị nh lí Viét, ta có ( )( )( ) 123121323123 678 x x x a x x x x x x b x x x c + + \=−+ + \=\=− . Gi ả s ử 2132 . x x x \= Có 2 kh ả n ă ng x ả y ra * 21 00 x x \= ⇒ \= ho ặ c 3 00 x b c \= ⇒ = = * 2 0 x ≠ . Lúc này ta có th ể vi ế t h ệ th ứ c đ ã cho là 1223 . x xt x x \= \= T ừ đ ó có th ể tính đượ c 13 , x x theo t và 2 x : 12 x tx \= và 23 x xt \= . Thay vào (6), (7) và (8), ta thu đượ c 23222 111,1, t x a t x b x ct t + + \=− + + \= \=− . Chú ý r ằ ng 110 t t + + ≠ , ta suy ra h ệ th ứ c 333322 b b x x c b a ca a −\=− ⇒ = \=− ⇒ = . H ệ th ứ c này v ẫ n đ úng khi 0 b c \= \= . V ậ y 33 b a c \= là h ệ th ứ c c ầ n tìm. |
