APPLIED MATHEMATICS FOR ECONOMICS AND BUSINESS A. Mục đích học phần Học phần Toán ứng dụng trong kinh tế cung cấp cho sinh viên các công cụ toán học cơ bản bao gồm: hàm số, dãy số, chuỗi số, ma trận, hệ phương trình, hệ bất phương trình, vi tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân, và các ứng dụng của các công cụ toán này trong việc giải thích, phân tích và giải quyết các vấn đề quan trọng trong kinh tế và kinh doanh. Giúp sinh viên hiểu rõ bản chất, ý nghĩa của hệ thống các công cụ toán học cơ bản bao gồm lý thuyết ma trận, hệ phương trình, đạo hàm, tích phân, … là nền tảng để giải thích các hiện tượng và quá trình kinh tế và kinh doanh. Trang bị cho sinh viên kỹ năng ứng dụng các công cụ toán học hữu dụng để giải thích bản chất, mô hình hóa và giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới góc độ logic toán học, đồng thời giúp sinh viên có khả năng phân tích, đánh giá các kết quả đạt được, sau đó vận dụng vào các hiện tượng kinh tế và kinh doanh. B. Nhiệm vụ của sinh viên
C. Tài liệu học tập Giáo trình TL1. Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Tập 1&2; Lê Đình Thúy; Nhà xuất bản Đại học kinh tế quốc dân (2010) Tài liệu tham khảo TK1. Mathematics for Economics and Business, Ian Jacques, Prentice Hall, 5th edition (2006) TK2. Applied Mathematics for the Managerial, Life and Social Sciences, Soo T. Tan, Brooks/Cole Cengage Learning, 5th edition (2010) TK3. Mathematics of Economics and Business, Frank Werner & Yuri N. Sotskov, Routledge (2006) TK4. Basic Mathematics for Economists, Mike Rosser, Routledge (2003) TK5. Essential mathematics for economics and business, Teresa Bradley, Paul Patton, John Wiley & Sons, LTD, 2nd edition (2002) TK6. Introductory mathematical analysis for business, economics, and the life and social sciences, Ernest F. Haeussler, Prentice Hall, 13rd edition (2011) D. TÀI NGUYÊN 1. Toán cao cấp cho nhà kinh tế 1 (Lê Đình Thúy)Tải về 2. Toán cao cấp cho nhà kinh tế 2 (Lê Đình Thúy)Tải về 3. Đề cương ôn tập cuối kỳ 1 năm học 2021-2022Tải về 4. Slide chương 1 – Ma trậnTải về 5. Bài tập chương 1 – Ma trậnTải về 6. Slide chương 2 – Hệ phương trình tuyến tínhTải về 7. Bài tập chương 2 – Hệ phương trình tuyến tínhTải về 8. Slide chương 3 – Hàm số – Dãy sốTải về 8a. Bài tập chương 3 – Hàm số – Dãy sốTải về 9. Slide chương 4 – Đạo hàm, vi phân hàm 1 biếnTải về 9a. Bài tập chương 4 – Đạo hàm, vi phân hàm 1 biếnTải về 10. Slide chương 5 – Hàm số nhiều biếnTải về 11. Slide chương 6 – Tích phân hàm 1 biếnTải về 12. Slide chương 7 – Phương trình vi phânTải về 13. Slide chương 8 – Phương trình sai phânTải về 14. Slide Toán ứng dụng 8 chương – Bản FullTải về 15. Các bài toán ứng dụng trong kinh tếTải về 16. Bài tập Toán ứng dụng – chương 5, 6, 7, 8Tải về BÀI GIẢNG TRÊN YOUTUBE
Nhiều lúc các bạn nghĩ rằng, các bạn đã thuộc lầu các công thức toán học áp dụng cho chuyên ngành kinh tế. Có đúng như vậy không? Các bạn hảy ôn tập tổng thể để biết là mình đã nhớ những gì và những gì đã quên. CÁC HÀM TOÁN KINH TẾ ỨNG DỤNG rất cần thiết cho những ai muốn đánh giá sự học hỏi của chính mình trong suốt những tháng năm miệt mài học tập.
Có ví dụ cho các ứng dụng khác nhau.
Các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu của một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Qs = Sp; Qd = Dp; Trong đó p là giá hàng hóa;Qs là lượng cung: tức là lượng hàng hóa người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; Qd là lượng cầu: tức là lượng hàng hóa người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.
⧪ Khi xem xét mô hình hàm cung, hàm cầu ta giả thiết rằng các yếu tố khác không đổi. Qs = S(p) <=> p = S⁻¹(Qs) Qd = D(p) <=> p = D⁻¹(Qd) 2. Hàm chi phí và hàm doanh thu • Hàm chi phí: Là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản xuất (TC) vào sản lượng (Q):
TC = TC(Q)
• Hàm doanh thu: Là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu (TR) vào sản lượng (Q): 3. Hàm lợi nhuận Hàm lợi nhuận: là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận vào sản lượng (Q): • Hàm lợi nhuận có thể xác định bởi Π = TR(Q) - TC(Q) (Doanh thu - Chi phí) 4. Hàm tiêu dùng - Hàm tiết kiệm • Hàm tiêu dùng: Biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng(C) vào thu nhập (Y):C = C(Y) • Hàm tiết kiệm: Là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm (S) vào thu nhập (Y): S = S(Y) 5. Hàm sản xuất ngắn hạn • Mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào, gọi là các yếu tố sản xuất, như vốn và lao động…• Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không thể thay đổi. • Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tổ sản xuất có thể thay đổi. • Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn (Capital) và lao động (Labor), được ký hiệu tương ứng là K và L
• Ví dụ: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas phụ thuộc vào một trong hai yếu tố vốn và lao động: Q = aK∝ , Q = bKβ (a, b, ,∝, β >o) 6. Các hàm khác• Hàm đầu tư phụ thuộc vào lãi suất: I = I(r) ; trong đó r là lãi suất • Hàm quỹ vốn theo thời gian: K = K(t) ; trong đó t là thời gian. • Hàm đầu tư theo thời gian: I = I(t) ; trong đó t là thời gian 7. Cấp số nhân trong phân tích tài chính• A. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ Gửi một khoản tiền A đồng vào ngân hàng với mức lãi suất cố định thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận một khoản tiền lớn hơn là B = A+tiền lãi • B: gọi là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm nay. • A: gọi là giá trị hiện tại của khoản B đồng trong tương lai. • Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính, người ta gia thiết rằng có một mức lãi suất chung. Ta gọi mức lãi suất chung là r. • Giả sử một người có một khoản tiền A đồng thì sau một năm, với lãi suất r một năm, người đó sẽ có một khoản tiền gộp cả lãi lẫn gốc là: B₁ = A +rA = (1+r)A • Gọi Bt là số tiền người đó có sau t năm. Ta có:
Bt = Boqt = A(1+r)t
⧫ Giá trị tương lai của A đồng người đó có hôm nay sau t năm là:
⧫ Giá trị hiện tại của một khoản B đồng mà người đó sẽ nhận sau t năm là: B = 100*(1+0,08)³ = 125,9712 • Con số này nhỏ hơn 150 triệu sẽ thu về, tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn là đem tiền cho vay.8. Giá trị hiện tại ròng (NPV) Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triển khai dự án. • Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản do dự án đem lại sau t năm, r là lãi suất năm và NPV( Net Present Value) là giá trị hiện tại ròng của dự án, ta có: NPV = B*(1+r)⁻t - C Một tiêu chuẩn cơ bản để dự án đầu tư được chấp thuận là NPV>0. • Ở ví dụ trên: NPV = 150*(1+0,08)⁻3 - 100 = 19,075>0 9. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn• Kỳ khoản là các khoản tiền tích góp đều đặn theo định kỳ(hàng tháng, hàng quý, hàng năm…). Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản hay niên kim (annuity). Ví dụ 2. Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại cho bạn đều đặn $5000 mỗi năm, liên tiếp trong 10 năm sau đó. Hỏi rằng luồng vốn phải đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì bạn có thể chấp nhận dự án đó trong điều kiện lãi suất 10% một năm? Lưu ý: Bạn có 2 cách giãi: - Cách 1: PV = 5000/(1+0,1)¹+5000/(1+0,1)² + ...5000/(1+0,1)¹º - Cách 2: Áp dụng công thức: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều => Đấp án: $30722,84 Vậy dự án chỉ có thể được chấp nhận nếu số vốn phải đầu tư ban đầu nhỏ hơn $30722,84
Giả sử bạn định mua một xe máy theo phương thức trả góp. Theo phương thức này, sau mỗi tháng kể từ khi nhận hàng bạn phải trả đều đặn mỗi tháng một lượng tiền nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử xe máy vào thời điểm bạn mua xe là $2500 (giá trả ngay) và giả sử lãi suất ngân hàng là 1% một tháng. Với mức phải trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp là chấp nhận được. Gọi a là khoản phải trả hàng tháng.
Áp dụng công thức dòng tiền đều: \[PV{{A}_{n}}=PMT*\frac{1-\frac{1}{{{(1+i)}^{n}}}}{i}\] Trong đó: PMT: Giá trị của một khoản tiền đều. PVAn : Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều PMT = a là khoản phải trả hàng tháng. i = 0,01 n = 24 Thế vào công thức trên ta có: PVAn = 21,24a = 2500 => a = 117,7Vậy số tiền mà bạn phải trả hàng tháng là 117,7. Đây là số tiền có thể chấp nhận được.
Theo Bài giãng toán cao cấp của Nguyễn Văn Tiến Page 2 |
