Công thức đường tròn lớp 10

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Viết phương trình đường tròn: Viết phương trình đường tròn. Phương pháp giải. Cách 1: Tìm toạ độ tâm I(a; b) của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng. Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C). Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). (C) tiếp xúc với đường thẳng A tại IA = d(I) = R. (C) tiếp xúc với hai đường thẳng A và A. Các ví dụ. Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn trong môi trường hợp sau: a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0; 0). b) Nhận AB làm đường kính với A(1; 1), B(7; 5). c) Đi qua ba điểm: M(-2, 4), P(6; -2). Lời giải: a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI = 1 + 5 = V26 nên có phương trình là (x – 1) + (y + 5) = 26. b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra (4; 3). Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I(4; 3) làm tâm và bán kính R = AI = 13 nên có phương trình là (1 – 4) + (y – 3) = 13. c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: a + 2 – 43 – 29 – 20 = 0. Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau: Gọi I (c; g) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng A: 1 – 2 + 7 = 0. b) (C) đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Og. c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: 0 – 6g – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d: 32 + 4y + 5 = 0 và d : 40 – 34 – 5 = 0. Lời giải: a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ 1 tới đường thẳng A nên phương trình đường tròn (C). b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I(R; -3) trong đó R là bán kính đường tròn (C). Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K. a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d, nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình. Ví dụ 3: Cho hai điểm A(3; 0) và B(0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra bán kính R = IA = (8 – 4) + (0 – 3) = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là 25. b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB mặt khác vì cùng bằng diện tích tam giác ABC dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là 4. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: V30 + y = 0, và d. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc d với d’ tại A, cắt d tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. d. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.

Phương trình đường tròn: lý thuyết, công thức và cách giải các dạng toán là phần kiến thức Toán 10, phân môn Hình học vô cùng quan trọng. Nhằm giúp quý thầy cô và các bạn học sinh có thêm nguồn tư liệu quý trong việc dạy và học, THPT Sóc Trăng đã chía sẻ bài viết sau đây. Cùng tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Bạn đang xem: Phương trình đường tròn: lý thuyết, công thức và cách giải các dạng toán

Phương trình đường tròn có tâm $I(a;b)$, bán kính  là :

$$(x-a$$)2+(y−b)2=R2

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn $$(x-a$$)2+(y−b)2=R2  có thể được viết dưới dạng 

$${\mathrm{x2}}^{}+{\mathrm{y2}}^{}-2ax-2by+c=0$$

trong đó $c={\mathrm{a2}}^{}+{\mathrm{b2}}^{}-{\mathrm{R2}}^{}$

Ngược lại, phương trình ${\mathrm{x2}}^{}+{\mathrm{y2}}^{}-2ax-2by+c=0$ là phương trình của đường tròn $\left(C\right)$ khi và chỉ khi  ${\mathrm{a2}}^{}+{\mathrm{b2}}^{}-c>0$. Khi đó đường tròn có tâm $I(a;b)$ và bán kính $R=\sqrt{{\mathrm{a2}}^{}+{\mathrm{b2}}^{}-c}$

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm ${\mathrm{M0}}^{}({\mathrm{x0}}^{};{\mathrm{y0}}^{})$nằm trên đường tròn $\left(C\right)$ tâm  $I(a;b)$.Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến với  tại ${\mathrm{M0}}^{}$

Ta có ${\mathrm{M0}}^{}$ thuộc $\Delta$ và vectơ ${I{\mathrm{M0}}^{}}^{}=({\mathrm{x0}}^{}-a;{\mathrm{y0}}^{}-b)$ là vectơ  pháp tuyến cuả $\Delta$

Do đó  $\Delta$ có phương trình là:

$$({\mathrm{x0}}^{}-a)(x-{\mathrm{x0}}^{})+({\mathrm{y0}}^{}-b)(y-{\mathrm{y0}}^{})=0$$

Phương trình này là phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(x-a{)2}^{}+(y-b{)2}^{}={\mathrm{R2}}^{}$  tại điểm ${\mathrm{M0}}^{}$ nằm trên đường tròn.

II. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Lập phương trình đường tròn

Cách giải 1:

• Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)
• Tìm bán kính R của (C)
• Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Chú ý:

• (C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
• (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).
• (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách giải 2:

• Gọi phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)
• Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
• Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo­(xo;yo) thuộc đường tròn (C)

• Tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)
• Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo­(xo;yo) có dạng:

$$({\mathrm{x0}}^{}-a)(x-{\mathrm{x0}}^{})+({\mathrm{y0}}^{}-b)(y-{\mathrm{y0}}^{})=0$$

Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R

Dạng 3: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Cách giải 1:

• Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (1)
• Xét dấu biểu thức: $\sqrt{{\mathrm{a2}}^{}+{\mathrm{b2}}^{}-c}$
• Nếu M $>0$ thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính $R=\sqrt{{\mathrm{a2}}^{}+{\mathrm{b2}}^{}-c}$

Cách giải 2:

Đưa phương trình về dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = m(2)

Nếu m $>0$ thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính $R=\sqrt{}$

III. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10): Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a, x2 + y2– 2x – 2y – 2 = 0

b, 16x2 + 16y2 + 16x – 8y -11 = 0

c, x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

Lời giải

Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a, (C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);

b, (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp cúc với đường thẳng x – 2y +7 =0

c, (C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5).

Lời giải

Bài 3 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

a, A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)

b, M(-2; 4), N(5; 5), P(6; -2)

Lời giải

Bài 4 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1).

Lời giải

Bài 5 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0

Lời giải

Vậy là THPT Sóc Trăng đã gửi tới quý thầy cô cùng các bạn chuyên đề về phương trình đường tròn: lý thuyết, công thức và cách giải các dạng toán. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết ! Xem thêm cách viết phương trình tham số tại đường link này nhé ! 

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo dục