Toán học lớp 11 bao gồm nhiều chủ đề trọng tâm, trong đó nổi bật là chuyên đề giới hạn của dãy số. Vậy cần nắm gì về lý thuyết giới hạn của dãy số toán 11? Các dạng toán giới hạn của dãy số? Bài tập giới hạn của dãy số có lời giải? Hay tính giới hạn của dãy số chứa căn thức?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề này nhé! Show
Tìm hiểu dãy số có giới hạn 0 là gì?Định nghĩa dãy số có giới hạn 0Dãy số có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(lim_{u_{n}} = 0\) Nói một cách ngắn gọn, \(lim_{u_{n}} = 0\) nếu \(\left | u_{n} \right |\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Từ định nghĩa suy ra rằng:
Một số dãy số có giới hạn 0Tìm hiểu giới hạn hữu hạn của dãy số là gì?Định nghĩa Giới hạn hữu hạn của dãy sốTa nói rằng dãy số (\(u_{n}\)) có giới hạn là số thực L nếu lim (\(u_{n}\) – L) = 0
Một số định lí về giới hạn hữu hạn của dãy sốGiả sử \(lim_{u_{n}} = L\). Khi đó: \(lim\left | u_{n} \right | = \left | L \right |\) và \(lim \sqrt[3]{u_{n}} = \sqrt[3]{L}\) Nếu \(u_{n} \geq 0\) với mọi n thì \(L \geq 0\) và \(lim\sqrt{u_{n}} = \sqrt{L}\) Giả sử \(lim\, u_{n} = L,\, lim\, v_{n} = M\) và c là một hằng số. Khi đó:
Tìm hiểu giới hạn vô cực của dãy số là gì?Dãy số có giới hạn \(+\infty\)
Dãy số có giới hạn \(-\infty\)
Mối liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cựcMột vài quy tắc tìm giới hạn vô cựcQuy tắc 1 Nếu \(lim\, u_{n} = \pm \infty ,\, lim\, v_{n} = \pm \infty\) thì \(lim(u_{n}v_{n})\) được cho trong bảng sau: Quy tắc 2 Nếu \(lim\, u_{n} = \pm \infty ,\, lim\, v_{n} = L \neq 0\) thì \(lim(u_{n}v_{n})\) được cho trong bảng sau: Quy tắc 3 Nếu \(lim\, u_{n} = L \neq 0,\, v_{n} > 0\) hoặc \(v_{n} < 0\) kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \(lim\frac{u_{n}}{v_{n}}\) được cho trong bảng sau: Các dạng toán về giới hạn của dãy sốDạng 1: Tính giới hạn dãy số cho bởi công thứcVí dụ 1: Tính \(lim(n^{3} – 2n + 1)\) Cách giải Ta có: \(n^{3} – 2n + 1 = n^{3}(1 – \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})\) Vì \(lim\, n^{3} = +\infty\) và \(lim\, (1 – \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) = 1 > 0\) nên theo quy tắc 2 ta có \(lim(n^{3} – 2n + 1) = +\infty\) Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồiVí dụ 2: Cho dãy số (\(u_{n}\)) được xác định bởi \(u_{1} = 1,\, u_{n+1} = \frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}\) với mọi \(n\geq 1\). Biết dãy số (\(u_{n}\)) có giới hạn hữu hạn, tính \(lim_{u_{n}}\). Cách giải Đặt \(lim\, u_{n} = L \geq 0\) Ta có: \(lim\, u_{n+1} = lim\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n} + 3}\) hay \(L = \frac{2(2L + 1)}{L + 3}\) \(\Rightarrow L^{2} – L – 2 = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} L = 2 \\ L = -1\, (L) \end{array}\right.\) Vậy \(lim\, u_{n} = 2\) Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức
Ví dụ 3: Tính \(lim (\sqrt{n^{2} + 2n} – n)\) Cách giải Ta có: \(lim (\sqrt{n^{2} + 2n} – n) = lim\frac{(\sqrt{n^2 + 2n} + n)(\sqrt{n^2 + 2n} -n)}{(\sqrt{n^2 + 2n} +n)}\) \(=lim\frac{n^2 + 2n – n^2}{(\sqrt{n^2 + 2n} +n)}\) \(= lim\frac{2n}{(\sqrt{n^2 + 2n} +n)}\) \(= lim\frac{2}{(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1)}\) \(= \frac{2}{1 + 1} = 1\) Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ
Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũTương tự tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất, cũng tương tự như giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này qua cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Qua đó có thể hoàn toàn tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm. Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề giới hạn dãy số. Nếu có bất cứ câu hỏi hay thắc mắc gì liên quan đến chủ đề giới hạn của dãy số, đừng quên để lại câu hỏi bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!. Xem thêm >>> Lim là gì? Phương pháp tính và Bài tập về giới hạn Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
Please follow and like us:
|