Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu: Các dạng bài tập vận dụng cao phương trình mũ và phương trình logarit. Phương trình mũ và phương trình logarit là một chủ đề xuất hiện xuyên suốt trong kỳ thi Đại học hay kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán từ những năm 2000 cho đến bây giờ kể cả hình thức tự luận hay trắc nghiệm. Năm 2016, với những cải cách và đổi mới giáo dục, kỳ thi Đại học và kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia được gộp làm một và gọi là kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia với mục tiêu kép là xét tuyển tốt nghiệp và xét tuyển Đại học, bên cạnh những câu hỏi về hàm số mũ và logarit mức độ dễ thì xuất hiện hiện thêm các câu hỏi vận dụng phương trình mũ và logarit nâng cao. Trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 và năm 2021, các bài toán về phương trình mũ và phương trình logarit thường là các câu hỏi mục tiêu 9 điểm trở lên và đóng vai trò là các câu hỏi phân loại học sinh khá giỏi để xét tuyển Đại hoc. Dạng toán về phương trình mũ và logarit này thuộc chủ đề tìm tham số m để bài phương trình có nghiệm. Để giải được các bài toán này, bên cạnh kiến thức về hàm số mũ và logarit, các kiến thức cơ bản để giải bài tập phương trình mũ logarit thì các bạn học sinh cần phải kết hợp thêm các kiến thức về đạo hàm, khảo sát hàm số, đồ thị hàm số được học ở chương 1 lớp 12 môn Toán. Với cách giải các dạng toán về Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập môn Toán lớp 12 Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập lớp 12. Mời các bạn đón xem: Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 12
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: logax=b ,a, b>0, a≠1 Theo định nghĩa logarit ta có logax=b⇔x=ab
Biến đổi, quy về cùng cơ số: logafx=logagx⇔0<a≠1fx=gx>0 Đặt ẩn phụ: flogagx=0(0<a≠1)⇔t=logagxft=0 Mũ hóa hai vế: logagx=fx(0<a≠1)⇔ gx>0gx=afx Giải bằng phương pháp đồ thị: Giải phương trình: logax=fx0<a≠1* Xem phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y=logax 0<a≠1 và y=fx. Khi đó ta thực hiện hai bước: Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y=logax 0<a≠1 và y=fx. Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Sử dụng đánh giá II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. Phương trình loogarit cơ bản
Xét phương trình lôgarit cơ bản:logaf(x)=b,a, b>0, a≠1 Bước 1: Nêu điều kiện để f(x) có nghĩa Bước 2: Giải phương trình logaf(x)=b⇔f(x)=ab Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.
Câu 1: Tìm tập nghiệm của phương trình log4x−2=2.
Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có log4x−2=2⇔x−2>0log4x−2=log442⇔x>2x−2=42⇔x>2x=18⇔x=18 Vậy tập nghiệm của phương trình S = {18}. Câu 2: Số nghiệm của phương trình logx−12=2.
Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện x−12>0⇔x−1≠0⇔x≠1. Ta có logx−12=2=log102⇔x−12=100 ⇔x=11x=−9(thỏa mãn). Vậy phương trình có hai nghiệm. Câu 3: Số nghiệm của phương trình log2xx−1=1 là
Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện xác định: xx – 1 > 0⇔x<0x>1 pt⇔xx−1=2⇔x2−x−2=0 ⇔x=−1 hoặc x=2 (thỏa mãn). Vậy phương trình có hai nghiệm. Câu 4: Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình log2xx+3=1. Khi đó x1+x2 bằng:
Hướng dẫn giải Chọn A. [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x<−3x>0 log2xx+3=1⇔xx+3=2⇔x2+3x−2=0 ⇔x=−3+172x=−3−172 (thỏa mãn) Vậy x1+x2=−3. [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3. Câu 5: Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình log2xx−1=1. Khi đó tích x1.x2 bằng:
Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện x<0 hoặc x>1 log2xx−1=1⇔x2−x−2=0⇔x1=−1x2=2⇔x1.x2=−2 Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Xét phương trình cùng cơ số: logafx=logagx,0<a≠1 Bước 1: Nêu điều kiện f(x)>0g(x)>0 Bước 2 Giải phương trình: logafx=logagx⇔fx=gx Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình log2x2−1=log22x là
Hướng dẫn giải. Chọn A. Điều kiện: x2−1>02x>0⇔x>1. Khi đó PT ⇔x2−1=2x ⇔x=1−2x=1+2 Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là 1+2. Câu 2: Cho phương trình log5x3+2+log15x2−6=0 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện của phương trình là x3+2>0x2−6>0 Khi đó 1⇔log5x3+2−log5x2−6=0⇔log5x3+2x2−6=0=log51⇔x3+2x2−6=1⇔x3−x2+8=0 Vậy phương trình đã cho tương đương với x3+2>0x2−6>0x3−x2+8=0 Câu 3: Số nghiệm của phương trình lnx2−6x+7=lnx−3 là:
Hướng dẫn giải Chọn D. [Phương pháp tự luận] Điều kiện x−3>0x2−6x+7>0⇔x>3x>3+2x<3−2⇔x>3+2 Khi đó, ta có: lnx2−6x+7=lnx−3⇔x2−6x+7=x−3⇔x2−7x+10=0⇔x=5x=2 Kết hợp với điều kiện, x = 5 là giá trị cần tìm. [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính lnX2−6X+7−lnX−3=0 Ấn SHIFT CALC nhập X = 4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn =. Máy hiện X = 5. Ấn Alpha X Shift STO A Ấn AC. Viết lại phương trình: lnX2−6X+7−lnX−3X−A=0 Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =. Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm. Câu 4: Phương trình log132x+1+log34x+5=1 có tập nghiệm là tập nào sau đây?
Hướng dẫn giải. Chọn D.  Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log3x−log3x−2=log3m có nghiệm?
Hướng dẫn giải Chọn A. [Phương pháp tự luận] Kết hợp với điều kiện m > 0, ta được m > 1. Phương trình có nghiệm x >2 khi m >1 ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay m =0 (thuộc C, D) vào biểu thức log3m không xác định, vậy loại C, D, Thay m =1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương x=x−2 vô nghiệm Vậy chọn đáp án A. Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Xét phương trình:flogagx=0(0<a≠1) Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > 0 Bước 2: Đặt t=logagx Giải phương trình f(t) = 0, tìm t. Bước 3: Thay vào phương trình: t=logagx, tìm x. Bước 4: Kết hợp với điều kiện và kết luận.
Câu 1: Nếu đặt t=log2x thì phương trình 15−log2x+21+log2x=1 trở thành phương trình nào?
Hướng dẫn giải Chọn A Câu 2: Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình 14+log2x+22−log2x=1. Khi đó x1.x2bằng:
Hướng dẫn giải Chọn B. [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x>0x≠4x≠116 Đặt t=log2x ,điều kiện t≠−4t≠2. Khi đó phương trình trở thành: 14+t+22−t=1⇔t2+3t+2=0⇔t=−1t=−2⇒x=12x=14 Vậy x1.x2=18 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 12 và 14. Câu 3: Phương trình log52(2x−1)−8log52x−1+3=0 có tập nghiệm là:
Hướng dẫn giải Chọn C. [Phương pháp tự luận] [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x =1 (thuộc B, D) vào vế trái ta được 3=0 vô lý, vậy loại B, D, Thay x = - 1 vào log52x−1 ta được log5−3 không xác định, nên loại A Vậy chọn đáp án C. Câu 4: Gọi x1, x2là các nghiệm của phương trình log22x−3log2x+2=0. Giá trị của biểu thức P=x12+x22 bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải. Chọn A. Điều kiện x >0. Giải phương trình bậc hai với ẩn là log2x ta được: log22x−3log2x+2=0⇔log2x=1log2x=2⇔x=2x=4 Khi đó, P=x12+x22=22+42=20. Câu 5:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log22x+2log2x−m=0 có nghiệm x >2
Hướng dẫn giải Chọn D. log22x+2log2x−m=0 (1). Đặt t=log2x, phương trình (1) trở thành: t2+2t−m=0⇔t2+2t=m (2). Phương trình (1) có nghiệm x>2⇔ phương trình (2) có nghiệm: t>1 do t=log2x>log22=1 Xét hàm số y=t2+2t ⇒y'=2t+2, y'=0⇔t=−1 ( loại). Bảng biến thiên Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t>1⇔m>3. Dạng 4. Phương pháp mũ hóa
Xét phương trình: logagx=fx(0<a≠1) Bước 1: Đặt điều kiện g(x) > 0 Bước 2: Giải phương trình: logagx=fx(0<a≠1)⇔gx=afx Bước 3: Kết hợp với điều kiện, kết luận nghiệm. Câu 1: Cho x thỏa mãn phương trình log25.2x−82x+2=3−x. Giá trị của biểu thức P=xlog24x là
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có log25.2x−82x+2=3−x⇔5.2x−82x+2>05.2x−82x+2=82x⇔5.2x−82x+2>02x=−452x=4⇔2x=4⇔x=2 Vậy P=2log24.2=8 Câu 2: Phương trình log23.2x−1=2x+1có bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn giải Chọn B. [Phương pháp tự luận] Điều kiện 3.2x−1>0⇔2x>13⇔x>log213 log23.2x−1=2x+1⇔3.2x−1=22x+1⇔2.4x−3.2x+1=0⇔2x=12x=12⇔x=0x=−1 (thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính: log23x2X−1−2X−1=0 Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0. Ấn Alpha X Shift STO A Ấn AC. Viết lại phương trình: log23x2X−1−2X−1X−A=0 Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1. Ấn Alpha X Shift STO B. Ấn AC. Viết lại phương trình: log23x2X−1−2X−1X−AX−B=0 Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1= Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm. Câu 3: Số nghiệm nguyên dương của phương trình log24x+4=x−log122x+1−3 là:
Hướng dẫn giải Chọn B. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =2. Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log525x−log5m=x có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải. Chọn C. Điều kiện 25x−log5m>0 PT: ⇔25x−log5m=5x→t=5x>0t2−t=log5m Xét gt=t2−t trên 0;+∞ ta có bảng biến thiên: PT đã cho có nghiệm duy nhất: ⇔log5m=−14log5m≥0⇔m=154m≥1. Dạng 5. Phương pháp hàm số, đồ thị và đánh giá
Giải bằng phương pháp đồ thị: Giải phương trình: logax=fx0<a≠1* Xem phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y=logax0<a≠1 và y=fx. Khi đó ta thực hiện hai bước: ⇒ Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y=logax0<a≠1 và y=fx. ⇒Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Sử dụng đánh giá
Câu 1: Phương trình: lnx2+x+1−ln2x2+1=x2−x có tổng bình phương các nghiệm bằng:
Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log32x−2−log23x+1=m có ba nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn gải: Chọn B. Điều kiện: −1<x≠2. Phương trình đã cho tương đương với: log32x−2+log32x+1=m⇔log32x−2x+1=m⇔x−2x+1=32m (*) Phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số fx=x−2x+1 và đường thẳng y=32m (cùng phương với trục hoành). |
