Bài toán chứng minh hai tam giác cùng trọng tâm năm 2024

Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $XBC, YCA, ZAB.$ Chứng minh rằng các tam giác $ABC,XYZ$ có cùng trọng tâm.

• goopd yêu thích

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

Đã gửi 01-07-2016 - 22:06

halloffame

Thiếu úy

• Điều hành viên OLYMPIC
• 522 Bài viết

Đây là ví dụ 13, trang 18 Tài liệu chuyên Toán Hình học 10 nhé.

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.

Đã gửi 02-07-2016 - 06:29

vkhoa

Trung úy

• Điều hành viên THPT
• 933 Bài viết

  Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $XBC, YCA, ZAB.$ Chứng minh rằng các tam giác $ABC,XYZ$ có cùng trọng tâm.

Thực hiện phép quay tâm bất kỳ góc quay $\widehat{CBX}$ $\overrightarrow{BC}$ thành $\overrightarrow{B'C'}$, $\overrightarrow{CA}$ thành $\overrightarrow{C'A'}$, $\overrightarrow{AB}$ thành $\overrightarrow{A'B'}$ có $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow\overrightarrow{A'B'} +\overrightarrow{B'C'} +\overrightarrow{C'A'} =\overrightarrow{0}$ (1) ta có $\overrightarrow{A'B'}$ cộng tuyến $\overrightarrow{AZ}$, $\overrightarrow{B'C'}$ cộng tuyến $\overrightarrow{BX}$, $\overrightarrow{C'A'}$ cộng tuyến $\overrightarrow{CY}$ (2) mặt khác $\frac{AB}{AZ} =\frac{BC}{BX} =\frac{CA}{CY} =k$ $\Leftrightarrow\frac{A'B'}{AZ} =\frac{B'C'}{BX} =\frac{C'A'}{CY} =k$ (3) từ (2, 3)$\Rightarrow \overrightarrow{A'B'} =k .\overrightarrow{AZ}, \overrightarrow{B'C'} =k .\overrightarrow{BX} , \overrightarrow{C'A'} =k .\overrightarrow{CY}$ (4) từ (1, 4)$\Rightarrow\overrightarrow{AZ} +\overrightarrow{BX} +\overrightarrow{CY} =\overrightarrow{0}$ (5) gọi G là trọng tâm ABC (5)$\Leftrightarrow\overrightarrow{AG} +\overrightarrow{GZ} +\overrightarrow{BG} +\overrightarrow{GX} +\overrightarrow{CG} +\overrightarrow{GY} =\overrightarrow{0} $ $\Rightarrow\overrightarrow{GZ} +\overrightarrow{GX} +\overrightarrow{GY} =\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow G$ là trọng tâm XYZ (đpcm)

Đã gửi 02-07-2016 - 08:35

O0NgocDuy0O

Trung úy

• Thành viên
• 760 Bài viết

  Đây là ví dụ 13, trang 18 Tài liệu chuyên Toán Hình học 10 nhé.

Bạn giải thích đoạn: $\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n$ suy ra: $\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ}=n(BC.\overrightarrow{e_{a}}+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$

giúp mình được không?

• goopd yêu thích

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

Đã gửi 02-07-2016 - 08:46

Baoriven

Thượng úy

• Điều hành viên OLYMPIC
• 1425 Bài viết

$\overrightarrow{e}$ là vecto đơn vị.

$\overrightarrow{BC}=BC.\overrightarrow{e_{a}}$ Tới đây giải tiếp là ra.

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$

Đã gửi 02-07-2016 - 09:01

goopd

Lính mới

• Thành viên mới
• 9 Bài viết

  $\overrightarrow{e}$ là vecto đơn vị.

$\overrightarrow{BC}=BC.\overrightarrow{e_{a}}$ Tới đây giải tiếp là ra.

Tại sao lại có cái này???????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi goopd: 02-07-2016 - 09:01

Đã gửi 02-07-2016 - 09:14

Baoriven

Thượng úy

• Điều hành viên OLYMPIC
• 1425 Bài viết

Đây là kiến thức cơ bản của Vecto, vì độ dài của vecto đơn vị là 1

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$

Đã gửi 02-07-2016 - 09:18

ngoalong131209

Trung sĩ

• Thành viên
• 129 Bài viết

mấy anh ơi học chuyên toán ngoài sách chuyên ra thì tham khảo sách nào nữa ko

Đã gửi 02-07-2016 - 09:28

O0NgocDuy0O

Trung úy

• Thành viên
• 760 Bài viết

  Đây là kiến thức cơ bản của Vecto, vì độ dài của vecto đơn vị là 1

Nhưng có một điều em thắc mắc: $\overrightarrow{BC}=BC.\overrightarrow{e_{a}}\Rightarrow\overrightarrow{BC}$ cùng hướng $\overrightarrow{e_{a}}$. Nhưng thực tế trong hình là không cùng???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 02-07-2016 - 09:28

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

Đã gửi 02-07-2016 - 09:35

Baoriven

Thượng úy

• Điều hành viên OLYMPIC
• 1425 Bài viết

Vecto này nằm trên BC thì dĩ nhiên cùng phương với vecto BC rồi em.

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$

Đã gửi 02-07-2016 - 10:43

O0NgocDuy0O

Trung úy

• Thành viên
• 760 Bài viết

  Vecto này nằm trên BC thì dĩ nhiên cùng phương với vecto BC rồi em.

Theo lời giải trong sách thì không cùng phương ạ??

Lời giải nguyên văn của sách là thế này ạ:

Gọi $H,K,L$ theo thứ tự là hình chiếu của $X,Y,Z$ trên $BC,CA,AB$.

Gọi $\overrightarrow{e_{a}},\overrightarrow{e_{b}},\overrightarrow{e_{c}},$ là các vecto đơn vị, hướng ra ngoài tam giác $ABC$ và theo thứ tự vuông góc $BC,CA,AB$.

Các tam giác $XBC,YCA,ZAB$ đồng dạng nên:

$\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=m;$

$\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n.$

Suy ra:

$\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})+(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ}).$

$=m(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})$

$=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})=\overrightarrow{0}$(Con nhím).

Vậy có ĐPCM.

---------

em thấy theo lời giải vecto $BC$ không cùng hướng với vecto $e_{a}$ nên không biết đoạn màu đỏ ở đâu ra??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 02-07-2016 - 10:46

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

Đã gửi 02-07-2016 - 10:55

halloffame

Thiếu úy

• Điều hành viên OLYMPIC
• 522 Bài viết

  Theo lời giải trong sách thì không cùng phương ạ??

Lời giải nguyên văn của sách là thế này ạ:

Gọi $H,K,L$ theo thứ tự là hình chiếu của $X,Y,Z$ trên $BC,CA,AB$.

Gọi $\overrightarrow{e_{a}},\overrightarrow{e_{b}},\overrightarrow{e_{c}},$ là các vecto đơn vị, hướng ra ngoài tam giác $ABC$ và theo thứ tự vuông góc $BC,CA,AB$.

Các tam giác $XBC,YCA,ZAB$ đồng dạng nên:

$\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=m;$

$\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n.$

Suy ra:

$\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})+(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ}).$

$=m(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})$

$=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})=\overrightarrow{0}$(Con nhím).

Vậy có ĐPCM.

--------- em thấy theo lời giải vecto $BC$ không cùng hướng với vecto $e_{a}$ nên không biết đoạn màu đỏ ở đâu ra??

Đoạn màu đỏ là do vectơ $e_a$ cùng phương với $HX$ và tương tự, đồng thời do (2) thôi em. Chú ý các vectơ đơn vị có độ dài đại số bằng nhau.

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.

Đã gửi 02-07-2016 - 15:39

O0NgocDuy0O

Trung úy

• Thành viên
• 760 Bài viết

  Đoạn màu đỏ là do vectơ $e_a$ cùng phương với $HX$ và tương tự, đồng thời do (2) thôi em. Chú ý các vectơ đơn vị có độ dài đại số bằng nhau.

Chỗ $=m$ là em hiểu rồi ạ nhưng do $(2)$ thì chưa hợp lí.

Theo em là từ $\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n$ không suy được

$(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}}).$

Chẳng hạn nếu: $\overrightarrow{HX}=n.\overrightarrow{BC}$ thì không đúng vì vecto HX và BC không cùng phương.

Bởi Theo định nghĩa thì Với $k>0$ thì $k.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

Đã gửi 02-07-2016 - 19:48

halloffame

Thiếu úy

• Điều hành viên OLYMPIC
• 522 Bài viết

  Chỗ $=m$ là em hiểu rồi ạ nhưng do $(2)$ thì chưa hợp lí.

Theo em là từ $\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n$ không suy được

$(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}}).$

Chẳng hạn nếu: $\overrightarrow{HX}=n.\overrightarrow{BC}$ thì không đúng vì vecto HX và BC không cùng phương.

Bởi Theo định nghĩa thì Với $k>0$ thì $k.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

Do $\frac{HX}{BC} =n \Rightarrow \overrightarrow{HX} = \overrightarrow{e_a} .HX =\overrightarrow{e_a} .nBC.$